Théorème de Stewart : longueur de cévienne (côtés et division)
Calculez la longueur du segment qui relie un sommet à n'importe quel point du côté opposé, à partir des trois côtés et des deux morceaux de la base : des côtés 7, 5 et 6 avec une base partagée en 3 et 4 donnent 4,391550328268. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- A
- 7
- B
- 5
- C
- 6
- M
- 3
- N
- 4
- Cévienne
- 4,3915503283
- Cévienne au carré
- 19,2857142857
Le théorème de Stewart est l'identité classique qui relie les trois longueurs des côtés d'un triangle à la longueur d'une cévienne et aux deux segments que cette cévienne crée sur le côté opposé. Un élève ayant les côtés sept, cinq et six avec la base partagée en trois et quatre a besoin du segment interne depuis le sommet opposé ; un géomètre qui a mesuré au mètre les arêtes extérieures et marqué un point de division a besoin de la même longueur sans dessin à l'échelle ; un moteur de jeu ou un pipeline CAD qui stocke des maillages triangulaires et le pied d'un segment a besoin d'un nombre déterministe pour les collisions ou le layout UV. Cette capacité accepte le libellé standard — le côté a est la base divisée, b et c sont les deux autres côtés, m et n sont les segments de base avec m plus n égal à a —, vérifie l'inégalité triangulaire et la cohérence de la division, et renvoie la longueur positive de la cévienne via le radical en forme fermée.
Ce que dit le théorème de Stewart et comment libeller la cévienne
Le théorème de Stewart s'applique à tout triangle muni d'une cévienne d'un sommet vers un point du côté opposé. Libellez le triangle ABC de sorte que le côté a soit BC, le côté b soit AC et le côté c soit AB. Tracez la cévienne de A vers un point D sur BC, et écrivez BD égal à m, DC égal à n et la cévienne AD égal à d.
Le côté qui est divisé doit vérifier a égal à m plus n ; ce n'est pas un ornement arithmétique facultatif, mais une partie du contrat géométrique, car m et n sont littéralement les morceaux de a. Avec ce libellé, la relation de Stewart affirme que b au carré fois m plus c au carré fois n est égal à a fois la quantité d au carré plus m fois n.
En résolvant la longueur inconnue de la cévienne, on obtient d au carré égal à m fois b au carré plus n fois c au carré, le tout divisé par a, moins le produit m n, et d est la racine carrée non négative de cette expression.
Les cas particuliers retrouvent des résultats familiers : lorsque m est égal à n et égal à a sur deux, la cévienne est une médiane et la formule se réduit à celle de la médiane ; lorsque la cévienne est une hauteur sur un angle droit, vous pouvez croiser avec la moitié de la base fois la hauteur ou avec Pythagore dans les deux triangles rectangles ; lorsque D est un sommet, la configuration dégénère et est rejetée.
Chaque étape est de l'arithmétique élémentaire et une racine carrée sur cinq scalaires positifs, de sorte qu'il n'y a ni itération, ni échantillonnage, ni dépendance à l'horloge murale, ni besoin d'angles dans le contrat d'entrée.
Conseils pratiques, limites, vérifications guidées et recherches liées
Pour l'enseignement, préférez une partition entière classique telle que a égal à sept, b égal à cinq, c égal à six, m égal à trois et n égal à quatre, qui vérifie m plus n égal à a et produit une cévienne positive nette que l'on peut recalculer à la main avec le radical de Stewart.
Associez cela à une vérification de médiane sur un triangle rectangle trois-quatre-cinq : a égal à cinq, b égal à quatre, c égal à trois, m égal à n égal à deux virgule cinq, et la formule se réduit à la longueur connue de la médiane à l'hypoténuse.
Forcez délibérément le chemin d'erreur en envoyant m plus n différent de a — par exemple m égal à deux, n égal à deux, a égal à sept — pour montrer aux élèves qu'une division incohérente est rejetée avant toute prise de racine carrée.
Cette page cible les personnes qui recherchent un calculateur du théorème de Stewart ou un outil de longueur de cévienne à partir des côtés ; ce n'est pas un solveur SAS par angles ni seulement la formule d'aire de Héron — utilisez les capacités dédiées d'aire ou SAS lorsque telle est la vraie intention. Préférez Stewart lorsque vous avez mesuré ou reçu les trois côtés extérieurs et les deux morceaux de base et que vous avez besoin de la cévienne interne sans construire d'hauteurs.
Les contrôles aller-retour sont simples : après résolution, confirmez que m plus n est égal à a, recalculez d au carré via la forme fermée et vérifiez que b au carré fois m plus c au carré fois n est égal à a fois d au carré plus m n dans la tolérance flottante.
Cas d’usage
Topographie et implantation à partir des arêtes et d'un pied marqué
Transformez des arêtes triangulaires mesurées au mètre et une marque de division sur un côté en distance interne vers le sommet opposé sans dessin à l'échelle complet.
Jeux, CAD et maillages : longueurs de segments internes
Calculez la longueur d'une cévienne ou d'une médiane lorsqu'une face triangulaire stocke trois longueurs d'arête et un pied paramétré sur un bord.
Questions fréquentes
Qu'est-ce que le théorème de Stewart ?
Le théorème de Stewart relie les côtés a, b, c d'un triangle à une cévienne de longueur d qui partage le côté a en segments m et n : b²m + c²n = a(d² + mn). En résolvant, d = sqrt((m b² + n c²)/a − mn).
Que signifie une division incohérente ?
Les segments de base doivent vérifier m + n = a, car m et n sont les deux morceaux du côté a.
Comment m et n sont-ils libellés par rapport à b et c ?
Avec le côté a = BC, b = AC, c = AB et le pied D sur BC : m = BD (à côté du côté c) et n = DC (à côté du côté b). Échanger m et n sans échanger b et c donne la mauvaise longueur.
Calcule-t-on spécialement les médianes ou les hauteurs ?
Une médiane est le cas particulier m = n = a/2 ; saisissez ces segments et vous obtenez la longueur de la médiane avec la même formule. Une hauteur ne vaut que lorsque le pied est le vrai pied de la perpendiculaire — vous devez fournir les m et n corrects pour ce pied.
Quelle cévienne obtient-on avec les côtés 7, 5 et 6 et une base coupée en 3 et 4 ?
Environ 4,391550328268. Son carré vaut 19,285714285714, ce qui permet de vérifier le calcul à la main avant de prendre la racine carrée.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/stewart-theorem \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":7,"b":5,"c":6,"m":3,"n":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/stewart-theorem", {
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req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"a": 7,
"b": 5,
"c": 6,
"m": 3,
"n": 4
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.stewart_theorem",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Ce que dit le théorème de Stewart et comment libeller la cévienne
Si le radicande était clairement négatif, les entrées ne forment pas une figure cohérente et l'outil renvoie invalid_input plutôt qu'une longueur imaginaire.
Contrat d'entrée, forme de la réponse et division incohérente
Les trois côtés doivent aussi vérifier l'inégalité triangulaire stricte : a plus b supérieur à c, a plus c supérieur à b et b plus c supérieur à a. Envoyez un corps JSON avec cinq nombres finis positifs obligatoires. Le champ a est la longueur de la base divisée BC ; les alias side_a et base sont acceptés. Le champ b est le côté AC ; l'alias side_b a la même signification. Le champ c est le côté AB ; side_c est accepté. Le champ m est le segment de base BD ; segment_m et bd sont acceptés. Le champ n est le segment de base DC ; segment_n et dc sont acceptés. La règle critique de cohérence est que m plus n doit égaler a dans une tolérance relative flottante serrée ; si la somme diffère, le pied ne se trouve pas sur la base de la longueur déclarée et le gestionnaire lève invalid_input avec un message indiquant que la division est incohérente. En cas de succès, la réponse répète a, b, c, m et n, ajoute cevian (la longueur d), cevian_squared (le radicande avant la racine), method égal à stewart et un court bloc de formules documentant la relation de Stewart, la forme fermée de d et l'identité de division a égal à m plus n. Une validation échouée — champ obligatoire manquant, longueur non finie ou non positive, longueur hors des limites publiées, inégalité triangulaire brisée, m plus n incohérent face à a, ou radicande négatif — renvoie invalid_input et n'est jamais facturée. Le tarif est un montant fixe $0.002 par requête réussie avec l'unité item.
Conseils pratiques, limites, vérifications guidées et recherches liées
Gardez toutes les longueurs dans l'intervalle positif publié jusqu'à un billion afin que les produits intermédiaires de carrés restent finis en double précision IEEE sur le Worker et dans le navigateur. Les unités sont celles que vous envoyez — mètres, pieds ou unités de jeu — pourvu que a, b, c, m et n partagent la même unité ; l'API ne convertit pas les unités pour vous. Comme la formule n'a besoin que des côtés et des segments, les apprenants peuvent développer b au carré fois m plus c au carré fois n à la main avec de petits entiers et confronter l'API ligne par ligne. Les tâches échouées qui renvoient invalid_input ne consomment pas le solde prépayé, ce qui maintient les scripts exploratoires bon marché lorsque des partitions incohérentes sont saisies en apprenant le contrat.
Cas d'intégration
Contrôles de devoirs et d'examens sur Stewart et les céviennes
Donnez aux élèves les côtés a, b, c et les segments de base m, n ; comparez la longueur de cévienne calculée à la main au résultat déterministe de l'API ou du navigateur gratuit.
Questions techniques
Le calculateur du théorème de Stewart est-il gratuit ?
L'outil navigateur est gratuit et s'exécute localement. Les appels API utilisent le solde prépayé KIT à $0.002 par requête réussie ; les tâches échouées ne sont jamais facturées.