Teorema de Stewart: comprimento da ceviana pelos lados e divisão
Calcule o comprimento do segmento que vai de um vértice até qualquer ponto do lado oposto, com os três lados e os dois trechos da base: lados 7, 5 e 6 com a base dividida em 3 e 4 dão 4,391550328268. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- A
- 7
- B
- 5
- C
- 6
- M
- 3
- N
- 4
- Ceviana
- 4,3915503283
- Ceviana ao quadrado
- 19,2857142857
O teorema de Stewart é a identidade clássica que relaciona os três comprimentos dos lados de um triângulo ao comprimento de uma ceviana e aos dois segmentos que essa ceviana cria no lado oposto. Um estudante com lados sete, cinco e seis e a base partida em três e quatro precisa do segmento interno a partir do vértice oposto; um topógrafo que mediu com trena as arestas externas e marcou um ponto de divisão precisa do mesmo comprimento sem desenho em escala; um motor de jogo ou um pipeline CAD que guarda malhas triangulares e o pé de um segmento precisa de um número determinístico para colisão ou layout UV. Esta capacidade aceita a rotulagem padrão — o lado a é a base dividida, b e c são os outros dois lados, m e n são os segmentos da base com m mais n igual a a —, verifica a desigualdade triangular e a consistência da divisão e devolve o comprimento positivo da ceviana pelo radical em forma fechada.
O que o teorema de Stewart afirma e como rotular a ceviana
O teorema de Stewart aplica-se a qualquer triângulo com uma ceviana de um vértice a um ponto do lado oposto. Rotule o triângulo ABC de modo que o lado a seja BC, o lado b seja AC e o lado c seja AB. Trace a ceviana de A até um ponto D em BC e escreva BD igual a m, DC igual a n e a ceviana AD igual a d.
O lado que está sendo dividido deve satisfazer a igual a m mais n; isso não é adorno aritmético opcional, e sim parte do contrato geométrico, porque m e n são literalmente as peças de a. Com essa rotulagem, a relação de Stewart afirma que b ao quadrado vezes m mais c ao quadrado vezes n é igual a a vezes a quantidade d ao quadrado mais m vezes n.
Resolvendo o comprimento desconhecido da ceviana, obtém-se d ao quadrado igual a m vezes b ao quadrado mais n vezes c ao quadrado, tudo dividido por a, menos o produto m n, e d é a raiz quadrada não negativa dessa expressão.
Casos especiais recuperam resultados familiares: quando m é igual a n e igual a a sobre dois, a ceviana é uma mediana e a fórmula colapsa na da mediana; quando a ceviana é uma altura a um ângulo reto, você pode confrontar com metade da base vezes a altura ou com Pitágoras nos dois triângulos retângulos; quando D é um vértice a configuração degenera e é rejeitada.
Cada passo é aritmética elementar e uma raiz quadrada sobre cinco escalares positivos, de modo que não há iteração, amostragem, dependência do relógio de parede nem necessidade de ângulos no contrato de entrada.
Dicas práticas, limites, checagens resolvidas e buscas relacionadas
Ao ensinar, prefira uma partição inteira clássica como a igual a sete, b igual a cinco, c igual a seis, m igual a três e n igual a quatro, que satisfaz m mais n igual a a e produz uma ceviana positiva limpa que se pode recalcular à mão com o radical de Stewart.
Combine com uma checagem de mediana em um triângulo retângulo três-quatro-cinco: a igual a cinco, b igual a quatro, c igual a três, m igual a n igual a dois ponto cinco, e a fórmula reduz-se ao comprimento conhecido da mediana à hipotenusa. Force de propósito o caminho de erro enviando m mais n diferente de a — por exemplo m igual a dois, n igual a dois, a igual a sete — para mostrar aos alunos que uma divisão inconsistente é rejeitada antes de qualquer raiz quadrada.
Esta página atende quem busca uma calculadora do teorema de Stewart ou uma ferramenta de comprimento de ceviana a partir dos lados; não é um solucionador SAS por ângulos nem apenas a fórmula de área de Heron — use as capacidades dedicadas de área ou SAS quando essa for a intenção real. Prefira Stewart quando você mediu ou recebeu os três lados externos e as duas peças da base e precisa da ceviana interna sem construir alturas.
Checagens de ida e volta são simples: após resolver, confirme que m mais n é igual a a, recalcule d ao quadrado pela forma fechada e verifique que b ao quadrado vezes m mais c ao quadrado vezes n é igual a a vezes d ao quadrado mais m n dentro da tolerância de ponto flutuante.
Casos de uso
Topografia e layout com arestas externas e um pé marcado
Transforme arestas triangulares medidas com trena e uma marca de divisão em um lado na distância interna ao vértice oposto sem desenho em escala completo.
Jogos, CAD e malhas: comprimentos de segmentos internos
Calcule o comprimento de uma ceviana ou mediana quando uma face triangular guarda três comprimentos de aresta e um pé parametrizado em uma borda.
Perguntas frequentes
O que é o teorema de Stewart?
O teorema de Stewart relaciona os lados a, b, c de um triângulo a uma ceviana de comprimento d que divide o lado a em segmentos m e n: b²m + c²n = a(d² + mn). Resolvendo, d = sqrt((m b² + n c²)/a − mn).
O que significa divisão inconsistente?
Os segmentos da base devem satisfazer m + n = a, porque m e n são as duas peças do lado a.
Como m e n se rotulam em relação a b e c?
Com lado a = BC, b = AC, c = AB e pé D em BC: m = BD (junto ao lado c) e n = DC (junto ao lado b). Trocar m e n sem trocar b e c produz o comprimento errado.
Isto calcula medianas ou alturas de forma especial?
Uma mediana é o caso especial m = n = a/2; informe esses segmentos e você obtém o comprimento da mediana com a mesma fórmula. Uma altura só vale quando o pé é o pé perpendicular verdadeiro — é preciso fornecer os m e n corretos para esse pé.
A calculadora do teorema de Stewart é gratuita?
A ferramenta do navegador é gratuita e roda localmente.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/stewart-theorem \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":7,"b":5,"c":6,"m":3,"n":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/stewart-theorem", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 7,
"b": 5,
"c": 6,
"m": 3,
"n": 4
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/stewart-theorem",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 7,
"b": 5,
"c": 6,
"m": 3,
"n": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/stewart-theorem", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":7,"b":5,"c":6,"m":3,"n":4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":7,"b":5,"c":6,"m":3,"n":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/stewart-theorem", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"a": 7,
"b": 5,
"c": 6,
"m": 3,
"n": 4
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.stewart_theorem",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
O que o teorema de Stewart afirma e como rotular a ceviana
Se o radicando for claramente negativo, as entradas não formam uma figura consistente e a ferramenta devolve invalid_input em vez de um comprimento imaginário.
Contrato de entrada, formato da resposta e divisão inconsistente
Os três lados também devem satisfazer a desigualdade triangular estrita: a mais b maior que c, a mais c maior que b e b mais c maior que a. Envie um corpo JSON com cinco números finitos positivos obrigatórios. O campo a é o comprimento da base dividida BC; os alias side_a e base são aceitos. O campo b é o lado AC; o alias side_b tem o mesmo significado. O campo c é o lado AB; side_c é aceito. O campo m é o segmento de base BD; segment_m e bd são aceitos. O campo n é o segmento de base DC; segment_n e dc são aceitos. Em caso de sucesso a resposta ecoa a, b, c, m e n, acrescenta cevian (o comprimento d), cevian_squared (o radicando antes da raiz), method igual a stewart e um bloco curto de fórmulas com a relação de Stewart, a forma fechada de d e a identidade de divisão a igual a m mais n. Validação falha — campo obrigatório ausente, comprimento não finito ou não positivo, comprimento fora dos limites publicados, desigualdade triangular quebrada, m mais n inconsistente frente a a, ou radicando negativo — devolve invalid_input e nunca é cobrada. O preço é um valor fixo US$ 0,002 por requisição bem-sucedida com unidade item.
Dicas práticas, limites, checagens resolvidas e buscas relacionadas
Mantenha todos os comprimentos dentro do intervalo positivo publicado até um trilhão para que produtos intermediários de quadrados permaneçam finitos em precisão dupla IEEE no Worker e no navegador. As unidades são as que você enviar — metros, pés ou unidades de jogo — desde que a, b, c, m e n compartilhem a mesma unidade; a API não converte unidades por você. Como a fórmula só precisa de lados e segmentos, quem aprende pode expandir b ao quadrado vezes m mais c ao quadrado vezes n à mão com inteiros pequenos e confrontar a API linha a linha. Tarefas falhas que devolvem invalid_input não consomem saldo pré-pago, o que mantém baratos scripts exploratórios quando se digitam partições incoerentes ao aprender o contrato.
Casos de integração
Checagens de lição e prova sobre Stewart e cevianas
Dê aos alunos os lados a, b, c e os segmentos de base m, n; compare o comprimento da ceviana calculado à mão com o resultado determinístico da API ou do navegador gratuito.