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Stewartsches Theorem: Cevianenlänge aus Seiten und Teilung

Berechnen Sie die Länge der Strecke von einer Ecke zu einem beliebigen Punkt der Gegenseite aus den drei Seiten und den beiden Basisabschnitten: Seiten 7, 5 und 6 mit der Basis geteilt in 3 und 4 ergeben 4,391550328268. Kostenlos in Ihrem Browser.

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Rechenbeispiel

Wenn Sie eingeben

A: 7
B: 5
C: 6
M: 3
N: 4

Erhalten Sie

Ecktransversale: 4,3915503283
Quadrat der Ecktransversalen: 19,2857142857

Das Stewartsche Theorem ist die klassische Identität, die die drei Seitenlängen eines Dreiecks mit der Länge einer Ceviane und den beiden Segmenten verknüpft, die diese Ceviane auf der Gegenseite erzeugt. Eine Schülerin mit den Seiten sieben, fünf und sechs und der Basis zerlegt in drei und vier braucht das innere Segment vom gegenüberliegenden Scheitel; eine Vermessungskraft, die die Außenkanten abgemessen und einen Teilungspunkt markiert hat, braucht dieselbe Länge ohne Maßstabsskizze; eine Spiel- oder CAD-Pipeline, die Dreiecksnetze und den Fuß eines Segments speichert, braucht eine deterministische Zahl für Kollision oder UV-Layout. Diese Fähigkeit akzeptiert die Standardbeschriftung — Seite a ist die geteilte Basis, b und c sind die beiden anderen Seiten, m und n sind die Basissegmente mit m plus n gleich a —, prüft die Dreiecksungleichung und die Konsistenz der Teilung und liefert die positive Cevianenlänge aus dem geschlossenen Radikal.

Was das Stewartsche Theorem aussagt und wie die Ceviane beschriftet wird

Das Stewartsche Theorem gilt für jedes Dreieck mit einer Ceviane von einem Scheitel zu einem Punkt der Gegenseite. Beschriften Sie das Dreieck ABC so, dass Seite a gleich BC, Seite b gleich AC und Seite c gleich AB ist. Zeichnen Sie die Ceviane von A zu einem Punkt D auf BC und setzen Sie BD gleich m, DC gleich n und die Ceviane AD gleich d.

Die geteilte Seite muss a gleich m plus n erfüllen; das ist kein optionaler arithmetischer Zierrat, sondern Teil des geometrischen Vertrags, weil m und n wörtlich die Stücke von a sind. Mit dieser Beschriftung besagt die Stewart-Relation, dass b zum Quadrat mal m plus c zum Quadrat mal n gleich a mal der Größe d zum Quadrat plus m mal n ist.

Löst man nach der unbekannten Cevianenlänge auf, erhält man d zum Quadrat gleich m mal b zum Quadrat plus n mal c zum Quadrat, alles geteilt durch a, minus dem Produkt m n, und d ist die nichtnegative Quadratwurzel dieses Ausdrucks.

Spezialfälle liefern vertraute Ergebnisse: wenn m gleich n gleich a durch zwei ist, ist die Ceviane eine Seitenhalbierende und die Formel kollabiert zur Medianformel; wenn die Ceviane eine Höhe auf einen rechten Winkel ist, können Sie gegen halbe Basis mal Höhe oder Pythagoras in den beiden rechtwinkligen Dreiecken prüfen; wenn D ein Scheitel ist, entartet die Konfiguration und wird abgelehnt.

Jeder Schritt ist elementare Arithmetik und eine Quadratwurzel über fünf positive Skalare, sodass es keine Iteration, kein Sampling, keine Abhängigkeit von der Wanduhr und keinen Bedarf an Winkeln im Eingabevertrag gibt.

Praxis-Tipps, Grenzen, Rechenbeispiele und verwandte Suchen

Beim Unterrichten bevorzugen Sie eine klassische ganzzahlige Teilung wie a gleich sieben, b gleich fünf, c gleich sechs, m gleich drei und n gleich vier, die m plus n gleich a erfüllt und eine saubere positive Ceviane liefert, die Sie per Hand aus dem Stewart-Radikal nachrechnen können. Kombinieren Sie das mit einer Median-Prüfung am rechtwinkligen Dreieck drei-vier-fünf: a gleich fünf, b gleich vier, c gleich drei, m gleich n gleich zwei Komma fünf, und die Formel reduziert sich auf die bekannte Medianlänge zur Hypotenuse.

Erzwingen Sie absichtlich den Fehlerpfad, indem Sie m plus n ungleich a senden — zum Beispiel m gleich zwei, n gleich zwei, a gleich sieben —, um zu zeigen, dass eine inkonsistente Teilung abgelehnt wird, bevor eine Quadratwurzel gezogen wird. Bevorzugen Sie Stewart, wenn Sie die drei Außenkanten und die beiden Basisstücke gemessen oder erhalten haben und die innere Ceviane ohne Höhenkonstruktion brauchen.

Round-Trip-Prüfungen sind einfach: bestätigen Sie nach dem Lösen, dass m plus n gleich a ist, rechnen Sie d zum Quadrat aus der geschlossenen Form nach und prüfen Sie, dass b zum Quadrat mal m plus c zum Quadrat mal n gleich a mal d zum Quadrat plus m n innerhalb der Gleitkommatoleranz ist.

Anwendungsfälle

Vermessung und Absteckung aus Außenkanten und markiertem Fuß

Verwandeln Sie abgemessene Dreieckskanten und eine Teilungsmarkierung auf einer Seite in die innere Distanz zum gegenüberliegenden Scheitel ohne vollständige Maßstabsskizze.

Spiele, CAD und Netze: Längen innerer Segmente

Berechnen Sie eine Cevianen- oder Medianlänge, wenn eine Dreiecksfläche drei Kantenlängen und einen parametrisierten Fuß auf einer Kante speichert.

Häufige Fragen

Was ist das Stewartsche Theorem?

Das Stewartsche Theorem verknüpft die Dreiecksseiten a, b, c mit einer Ceviane der Länge d, die Seite a in die Segmente m und n teilt: b²m + c²n = a(d² + mn). Auflösen ergibt d = sqrt((m b² + n c²)/a − mn).

Was bedeutet inkonsistente Teilung?

Die Basissegmente müssen m + n = a erfüllen, weil m und n die beiden Stücke von Seite a sind.

Wie sind m und n relativ zu b und c beschriftet?

Mit Seite a = BC, b = AC, c = AB und Fuß D auf BC: m = BD (neben Seite c) und n = DC (neben Seite b). m und n ohne b und c zu tauschen liefert die falsche Länge.

Werden Seitenhalbierende oder Höhen besonders berechnet?

Eine Seitenhalbierende ist der Spezialfall m = n = a/2; geben Sie diese Segmente ein und Sie erhalten die Medianlänge aus derselben Formel. Eine Höhe gilt nur, wenn der Fuß der echte Lotfuß ist — Sie müssen die richtigen m und n für diesen Fuß liefern.

Welche Länge ergibt sich bei Seiten 7, 5 und 6 und einer Teilung in 3 und 4?

Rund 4,391550328268. Ihr Quadrat beträgt 19,285714285714, damit können Sie die Rechnung von Hand prüfen, bevor die Wurzel gezogen wird.

Für Entwickler — API-Zugang

Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.

Endpunkt

POSThttps://api.kit.forhosting.com/geom/stewart-theorem

Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.

Aufruf aus Ihrem Stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/stewart-theorem \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a":7,"b":5,"c":6,"m":3,"n":4}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/stewart-theorem", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a": 7,
    "b": 5,
    "c": 6,
    "m": 3,
    "n": 4
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/geom/stewart-theorem",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a": 7,
    "b": 5,
    "c": 6,
    "m": 3,
    "n": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/stewart-theorem", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a":7,"b":5,"c":6,"m":3,"n":4}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a":7,"b":5,"c":6,"m":3,"n":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/stewart-theorem", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Beispiel-Anfrage

{
  "a": 7,
  "b": 5,
  "c": 6,
  "m": 3,
  "n": 4
}

Beispiel-Antwort

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "geom.stewart_theorem",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.

Preis

pro Anfrage$0.002

Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.

Fehler

HTTP	Code	Bedeutung
`401`	`unauthorized`	Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer).
`402`	`insufficient_balance`	Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht.
`404`	`unknown_type`	Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog.
`429`	`rate_limited`	Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.

Technische Hinweise

Was das Stewartsche Theorem aussagt und wie die Ceviane beschriftet wird

Wäre der Radikand klar negativ, bilden die Eingaben keine konsistente Figur und das Werkzeug liefert invalid_input statt einer imaginären Länge.

Eingabevertrag, Antwortform und inkonsistente Teilung

Die drei Seiten müssen außerdem die strenge Dreiecksungleichung erfüllen: a plus b größer als c, a plus c größer als b und b plus c größer als a. Senden Sie einen JSON-Körper mit fünf erforderlichen positiven endlichen Zahlen. Feld a ist die Länge der geteilten Basis BC; Aliase side_a und base werden akzeptiert. Feld b ist Seite AC; Alias side_b hat dieselbe Bedeutung. Feld c ist Seite AB; side_c wird akzeptiert. Feld m ist das Basissegment BD; segment_m und bd werden akzeptiert. Feld n ist das Basissegment DC; segment_n und dc werden akzeptiert. Bei Erfolg wiederholt die Antwort a, b, c, m und n, ergänzt cevian (die Länge d), cevian_squared (den Radikanden vor der Wurzel), method gleich stewart und einen kurzen Formelblock mit der Stewart-Relation, der geschlossenen Form für d und der Teilungsidentität a gleich m plus n. Fehlgeschlagene Validierung — fehlendes Pflichtfeld, nicht endliche oder nicht positive Länge, Länge außerhalb der veröffentlichten Grenzen, gebrochene Dreiecksungleichung, inkonsistentes m plus n gegenüber a oder negativer Radikand — liefert invalid_input und wird nie berechnet. Der Preis ist ein fester Betrag $0.002 pro erfolgreicher Anfrage mit Einheit item.

Praxis-Tipps, Grenzen, Rechenbeispiele und verwandte Suchen

Halten Sie alle Längen im veröffentlichten positiven Bereich bis zu einer Billion, damit Zwischenprodukte von Quadraten in IEEE-Doppelpräzision auf dem Worker und im Browser endlich bleiben. Einheiten sind, was Sie übergeben — Meter, Fuß oder Spieleinheiten —, solange a, b, c, m und n dieselbe Einheit teilen; die API rechnet Einheiten nicht für Sie um. Weil die Formel nur Seiten und Segmente braucht, können Lernende b zum Quadrat mal m plus c zum Quadrat mal n mit kleinen ganzen Zahlen von Hand ausmultiplizieren und die API Zeile für Zeile abgleichen. Diese Landingpage zielt auf Personen, die einen Rechner zum Stewartschen Theorem oder ein Werkzeug zur Cevianenlänge aus Seiten suchen; sie ist kein winkelbasierter SAS-Löser und nicht allein die Heron-Flächenformel — nutzen Sie die dedizierten Flächen- oder SAS-Fähigkeiten, wenn das die wahre Absicht ist. Fehlgeschlagene Aufgaben, die invalid_input liefern, verbrauchen kein vorausbezahltes Guthaben, sodass explorative Skripte günstig bleiben, wenn beim Lernen des Vertrags inkonsistente Teilungen eingegeben werden.

Integrationsbeispiele

Hausaufgaben- und Prüfungskontrollen zu Stewart und Cevianen

Geben Sie den Lernenden die Seiten a, b, c und die Basissegmente m, n; vergleichen Sie die per Hand berechnete Cevianenlänge mit dem deterministischen API- oder Browser-Ergebnis.

Technische Fragen

Ist der Rechner zum Stewartschen Theorem kostenlos?

Das Browser-Werkzeug ist kostenlos und läuft lokal. API-Aufrufe nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreicher Anfrage; fehlgeschlagene Aufgaben werden nie berechnet.

Vollständige KIT-Dokumentation lesen →

Stewartsches Theorem: Cevianenlänge aus Seiten und Teilung

Im Browser ausführen – kostenlos

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Was das Stewartsche Theorem aussagt und wie die Ceviane beschriftet wird

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Spiele, CAD und Netze: Längen innerer Segmente

Häufige Fragen

Verwandte Tools

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Technische Hinweise

Was das Stewartsche Theorem aussagt und wie die Ceviane beschriftet wird

Eingabevertrag, Antwortform und inkonsistente Teilung

Praxis-Tipps, Grenzen, Rechenbeispiele und verwandte Suchen

Integrationsbeispiele

Hausaufgaben- und Prüfungskontrollen zu Stewart und Cevianen

Technische Fragen

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