Teorema de Stewart: longitud de la ceviana con lados y división
Calcule la longitud del segmento que va de un vértice a cualquier punto del lado opuesto, con los tres lados y los dos tramos de la base: lados 7, 5 y 6 con la base partida en 3 y 4 dan 4,391550328268. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- A
- 7
- B
- 5
- C
- 6
- M
- 3
- N
- 4
- Ceviana
- 4,3915503283
- Ceviana al cuadrado
- 19,2857142857
El teorema de Stewart es la identidad clásica que relaciona las tres longitudes de los lados de un triángulo con la longitud de una ceviana y los dos segmentos que esa ceviana crea en el lado opuesto. Un estudiante con lados siete, cinco y seis y la base partida en tres y cuatro necesita el segmento interno desde el vértice opuesto; un topógrafo que ha medido con cinta los bordes exteriores y ha marcado un punto de división necesita la misma longitud sin dibujar a escala; un motor de juego o una tubería CAD que almacena mallas triangulares y el pie de un segmento necesita un número determinista para colisiones o el layout UV. Esta capacidad acepta el etiquetado estándar —el lado a es la base dividida, b y c son los otros dos lados, m y n son los segmentos de la base con m más n igual a a—, comprueba la desigualdad triangular y la coherencia de la división, y devuelve la longitud positiva de la ceviana mediante el radical en forma cerrada.
Qué afirma el teorema de Stewart y cómo se etiquetan ceviana y lados
El teorema de Stewart se aplica a cualquier triángulo con una ceviana desde un vértice hasta un punto del lado opuesto. Etiquete el triángulo ABC de modo que el lado a sea BC, el lado b sea AC y el lado c sea AB. Trace la ceviana desde A hasta un punto D en BC, y escriba BD igual a m, DC igual a n y la ceviana AD igual a d.
El lado que se divide debe cumplir a igual a m más n; no es un adorno aritmético opcional, sino parte del contrato geométrico, porque m y n son literalmente las piezas de a. Con ese etiquetado, la relación de Stewart afirma que b al cuadrado por m más c al cuadrado por n es igual a a por la cantidad d al cuadrado más m por n.
Al despejar la longitud desconocida de la ceviana se obtiene d al cuadrado igual a m por b al cuadrado más n por c al cuadrado, todo dividido por a, menos el producto m n, y d es la raíz cuadrada no negativa de esa expresión.
Los casos especiales recuperan resultados conocidos: cuando m es igual a n e igual a a entre dos, la ceviana es una mediana y la fórmula se reduce a la de la mediana; cuando la ceviana es una altura sobre un ángulo recto puede contrastarse con la mitad de base por altura o con Pitágoras en los dos triángulos rectángulos; cuando D es un vértice la configuración degenera y se rechaza.
Cada paso es aritmética elemental y una raíz cuadrada sobre cinco escalares positivos, de modo que no hay iteración, muestreo, dependencia del reloj de pared ni necesidad de ángulos en el contrato de entrada.
Consejos prácticos, límites, comprobaciones y búsquedas relacionadas
Al enseñar, prefiera una partición entera clásica como a igual a siete, b igual a cinco, c igual a seis, m igual a tres y n igual a cuatro, que cumple m más n igual a a y produce una ceviana positiva limpia que se puede recalcular a mano con el radical de Stewart.
Combínelo con una comprobación de mediana en un triángulo rectángulo tres-cuatro-cinco: a igual a cinco, b igual a cuatro, c igual a tres, m igual a n igual a dos coma cinco, y la fórmula se reduce a la longitud conocida de la mediana a la hipotenusa.
Fuerce a propósito la ruta de error enviando m más n distinto de a —por ejemplo m igual a dos, n igual a dos, a igual a siete— para mostrar a los estudiantes que una división inconsistente se rechaza antes de tomar ninguna raíz cuadrada.
Esta página atiende a quien busca una calculadora del teorema de Stewart o una herramienta de longitud de ceviana a partir de los lados; no es un solucionador SAS por ángulos ni solo la fórmula del área de Herón: use las capacidades dedicadas de área o SAS cuando esa sea la intención real. Prefiera Stewart cuando haya medido o le hayan dado los tres lados exteriores y las dos piezas de la base y necesite la ceviana interna sin construir alturas.
Las comprobaciones de ida y vuelta son sencillas: tras resolver, confirme que m más n es igual a a, recalcule d al cuadrado con la forma cerrada y verifique que b al cuadrado por m más c al cuadrado por n es igual a a por d al cuadrado más m n dentro de la tolerancia de coma flotante.
Qué puede hacer con ella
Topografía y replanteo con bordes exteriores y un pie marcado
Convierta aristas de triángulo medidas con cinta y una marca de división en un lado en la distancia interna al vértice opuesto sin un dibujo a escala completo.
Juegos, CAD y mallas: longitudes de segmentos internos
Calcule la longitud de una ceviana o mediana cuando una cara triangular almacena tres longitudes de arista y un pie parametrizado en un borde.
Preguntas frecuentes
¿Qué es el teorema de Stewart?
El teorema de Stewart relaciona los lados a, b, c de un triángulo con una ceviana de longitud d que parte el lado a en segmentos m y n: b²m + c²n = a(d² + mn). Al despejar se obtiene d = sqrt((m b² + n c²)/a − mn).
¿Qué significa división inconsistente?
Los segmentos de la base deben cumplir m + n = a, porque m y n son las dos piezas del lado a.
¿Cómo se etiquetan m y n respecto de b y c?
Con lado a = BC, b = AC, c = AB y pie D en BC: m = BD (junto al lado c) y n = DC (junto al lado b). Intercambiar m y n sin intercambiar b y c da la longitud incorrecta.
¿Calcula de forma especial medianas o alturas?
Una mediana es el caso especial m = n = a/2; introduzca esos segmentos y obtendrá la longitud de la mediana con la misma fórmula. Una altura solo vale cuando el pie es el pie perpendicular verdadero: debe suministrar los m y n correctos para ese pie.
¿Es gratuita la calculadora del teorema de Stewart?
La herramienta del navegador es gratuita y se ejecuta en local.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/stewart-theorem \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":7,"b":5,"c":6,"m":3,"n":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/stewart-theorem", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 7,
"b": 5,
"c": 6,
"m": 3,
"n": 4
})
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/stewart-theorem",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 7,
"b": 5,
"c": 6,
"m": 3,
"n": 4
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)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/stewart-theorem", false, stream_context_create([
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"method" => "POST",
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$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":7,"b":5,"c":6,"m":3,"n":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/stewart-theorem", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"a": 7,
"b": 5,
"c": 6,
"m": 3,
"n": 4
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.stewart_theorem",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Qué afirma el teorema de Stewart y cómo se etiquetan ceviana y lados
Si el radicando fuera claramente negativo, las entradas no forman una figura coherente y la herramienta devuelve invalid_input en lugar de una longitud imaginaria.
Contrato de entrada, forma de la respuesta y división inconsistente
Los tres lados deben cumplir también la desigualdad triangular estricta: a más b mayor que c, a más c mayor que b y b más c mayor que a. Envíe un cuerpo JSON con cinco números finitos positivos obligatorios. El campo a es la longitud de la base dividida BC; se aceptan los alias side_a y base. El campo b es el lado AC; el alias side_b tiene el mismo significado. El campo c es el lado AB; se acepta side_c. El campo m es el segmento de base BD; se aceptan segment_m y bd. El campo n es el segmento de base DC; se aceptan segment_n y dc. La regla crítica de coherencia es que m más n debe igualar a a dentro de una tolerancia relativa estrecha de coma flotante; si la suma difiere, el pie no yace en la base de la longitud declarada y el manejador lanza invalid_input con un mensaje de que la división es inconsistente. En caso de éxito la respuesta repite a, b, c, m y n, añade cevian (la longitud d), cevian_squared (el radicando antes de la raíz), method igual a stewart y un bloque breve de fórmulas con la relación de Stewart, la forma cerrada de d y la identidad de división a igual a m más n. La validación fallida —campo obligatorio ausente, longitud no finita o no positiva, longitud fuera de los límites publicados, desigualdad triangular rota, m más n inconsistente frente a a, o radicando negativo— devuelve invalid_input y nunca se cobra. El precio es un importe fijo $0.002 por petición exitosa con unidad item.
Consejos prácticos, límites, comprobaciones y búsquedas relacionadas
Mantenga todas las longitudes dentro del intervalo positivo publicado hasta un billón para que los productos intermedios de cuadrados sigan siendo finitos en doble precisión IEEE en el Worker y en el navegador. Las unidades son las que usted envíe —metros, pies o unidades de juego— siempre que a, b, c, m y n compartan la misma unidad; la API no convierte unidades por usted. Como la fórmula solo necesita lados y segmentos, quien aprende puede expandir b al cuadrado por m más c al cuadrado por n a mano con enteros pequeños y contrastar la API línea a línea. Las tareas fallidas que devuelven invalid_input no consumen saldo prepago, lo que mantiene baratos los scripts exploratorios cuando se teclean particiones incoherentes al aprender el contrato.
Casos de integración
Comprobaciones de deberes y exámenes sobre Stewart y cevianas
Proponga a los estudiantes los lados a, b, c y los segmentos de base m, n; compare la longitud de ceviana calculada a mano con el resultado determinista de la API o del navegador gratuito.