Vérificateur de nombres amiables : forment-ils une paire ?

Les nombres amiables sont une idée célèbre de la théorie classique des nombres : deux entiers positifs distincts forment une paire amiable lorsque chacun égale la somme des diviseurs propres de l'autre. Les diviseurs propres sont tous les diviseurs positifs sauf le nombre lui-même ; leur somme s'appelle la somme aliquote. La plus petite et la plus célèbre paire est deux cent vingt et deux cent quatre-vingt-quatre. Ce vérificateur prend deux entiers positifs, calcule les deux sommes aliquotes en arithmétique entière exacte et indique si la paire est amiable. Les nombres parfaits égaux sont signalés à part pour que vous distinguiez d'un coup d'œil l'amiabilité classique du cas parfait.

Ce que signifient nombres amiables et sommes aliquotes

Fixez un entier positif n. Ses diviseurs propres sont tout entier positif qui divise n sauf n lui-même. Par exemple, les diviseurs propres de deux cent vingt sont un, deux, quatre, cinq, dix, onze, vingt, vingt-deux, quarante-quatre, cinquante-cinq et cent dix ; ils s'additionnent à deux cent quatre-vingt-quatre.

Les diviseurs propres de deux cent quatre-vingt-quatre sont un, deux, quatre, soixante et onze et cent quarante-deux ; ils s'additionnent à deux cent vingt. Comme chaque somme aliquote retrouve l'autre valeur et que les deux nombres sont distincts, la paire est amiable. Si un nombre égale sa propre somme aliquote, il est parfait plutôt que membre d'une paire amiable ; six et vingt-huit sont les exemples parfaits classiques.

Les chaînes sociables de longueur supérieure à deux généralisent la même carte aliquote mais dépassent le cadre d'un test de paire à deux entrées. La définition utilisée ici est celle standard enseignée en théorie des nombres récréative et dans les séries de problèmes de concours : s(a) égale b, s(b) égale a, et a n'est pas égal à b, où s désigne la somme aliquote.

Cette règle en trois parties sépare nettement les paires amiables des nombres parfaits et des paires fortuites qui ne partagent une somme de facteurs que d'un seul côté.

Comment ce vérificateur évalue une paire candidate

Appelez la capacité avec les champs entiers a et b, chacun au moins un et au plus la borne supérieure publiée. L'implémentation valide que les deux valeurs sont présentes, finies, entières et non inférieures à un. Elle calcule ensuite la somme aliquote de chaque argument avec une boucle d'essai en O de racine carrée : tout diviseur d jusqu'à la racine carrée entière contribue d et, lorsqu'il est distinct, le quotient complémentaire, tandis que le nombre lui-même n'est jamais ajouté.

Un est traité comme cas spécial dont la somme aliquote est zéro car il n'a pas de diviseur propre autre que l'ensemble vide de candidats après exclusion de lui-même.

Usage pratique, limites, tarification et livraison

Utilisez l'outil navigateur lorsque vous voulez une vérification immédiate de paire amiable en étudiant des suites aliquotes, en vérifiant un exercice de manuel ou en démontrant des sommes de diviseurs propres sans installer un système de calcul formel. Les résultats sont pleinement déterministes : les mêmes a et b produisent toujours les mêmes sommes aliquotes, le même indicateur amiable et la même paire ordonnée.

Il n'y a ni modèle de langage, ni service arithmétique externe, ni aléa, donc la capacité est sûre à figer dans des tests automatisés et des carnets reproductibles. Branchez le point de terminaison à des démos de théorie des nombres, des correcteurs de concours, des explorateurs de suites aliquotes ou des étapes de prétraitement où vous faites déjà confiance à l'arithmétique exacte des diviseurs plutôt qu'à des heuristiques approximatives ou des calculateurs opaques boîte noire qui masquent les sommes intermédiaires.