Befreundete Zahlen prüfen: bilden sie ein amicables Paar?

Befreundete Zahlen sind eine berühmte Idee der klassischen Zahlentheorie: zwei verschiedene positive ganze Zahlen bilden ein befreundetes Paar, wenn jede der Summe der echten Teiler der anderen entspricht. Echte Teiler sind alle positiven Teiler außer der Zahl selbst; ihre Summe heißt aliquote Summe. Das kleinste und bekannteste Paar ist zweihundertzwanzig und zweihundertvierundachtzig. Dieser Prüfer nimmt zwei positive ganze Zahlen, berechnet beide aliquoten Summen mit exakter Integer-Arithmetik und meldet, ob das Paar befreundet ist. Gleiche vollkommene Zahlen werden separat markiert, damit Sie klassische Befreundetheit vom vollkommenen Fall auf einen Blick unterscheiden können.

Was befreundete Zahlen und aliquote Summen bedeuten

Fixieren Sie eine positive ganze Zahl n. Ihre echten Teiler sind jede positive ganze Zahl, die n teilt, außer n selbst. Zum Beispiel sind die echten Teiler von zweihundertzwanzig eins, zwei, vier, fünf, zehn, elf, zwanzig, zweiundzwanzig, vierundvierzig, fünfundfünfzig und einhundertzehn; sie addieren sich zu zweihundertvierundachtzig.

Die echten Teiler von zweihundertvierundachtzig sind eins, zwei, vier, einundsiebzig und einhundertzweiundvierzig; sie addieren sich zu zweihundertzwanzig. Weil jede aliquote Summe den anderen Wert zurückgewinnt und die beiden Zahlen verschieden sind, ist das Paar befreundet. Wenn eine Zahl ihrer eigenen aliquoten Summe gleicht, ist sie vollkommen und kein Teil eines befreundeten Paares; sechs und achtundzwanzig sind die klassischen vollkommenen Beispiele.

Soziable Ketten der Länge größer als zwei verallgemeinern dieselbe aliquote Abbildung, liegen aber außerhalb des Umfangs eines Zweieingabe-Paartests. Die hier verwendete Definition ist die Standarddefinition der rekreativen Zahlentheorie und von Wettbewerbsaufgaben: s(a) gleich b, s(b) gleich a, und a ungleich b, wobei s die aliquote Summe bezeichnet. Diese Dreiteilregel trennt befreundete Paare klar von vollkommenen Zahlen und von zufälligen Paaren, die nur einseitig zufällig dieselbe Faktorensumme teilen.

Wie dieser Prüfer ein Kandidatenpaar bewertet

Rufen Sie die Fähigkeit mit den ganzzahligen Feldern a und b auf, jeweils mindestens eins und höchstens die veröffentlichte Obergrenze. Die Implementierung prüft, dass beide Werte vorhanden, endlich, ganzzahlig und nicht unter eins sind. Anschließend berechnet sie die aliquote Summe jedes Arguments mit einer O-Quadratwurzel-Probeschleife: jeder Teiler d bis zur ganzzahligen Quadratwurzel trägt d und, wenn verschieden, den komplementären Quotienten bei, während die Zahl selbst nie addiert wird.

Eins wird als Sonderfall behandelt, dessen aliquote Summe null ist, weil es keinen echten Teiler außer der leeren Kandidatenmenge nach Ausschluss von sich selbst hat.

Praktischer Einsatz, Grenzen, Preise und Lieferung

Nutzen Sie das Browser-Werkzeug, wenn Sie eine sofortige Prüfung befreundeter Paare beim Studium aliquoter Folgen, beim Verifizieren einer Lehrbuchaufgabe oder beim Demonstrieren von Summen echter Teiler ohne Computeralgebrasystem wollen. Ergebnisse sind vollständig deterministisch: dieselben a und b liefern stets dieselben aliquoten Summen, dasselbe Befreundet-Flag und dasselbe geordnete Paar. Es gibt kein Sprachmodell, keinen externen Arithmetikdienst und keine Zufälligkeit, daher ist die Fähigkeit sicher in automatisierte Tests und reproduzierbare Notebooks zu pinnen.

Verdrahten Sie den Endpunkt in zahlentheoretische Demos, Contest-Bewerter, Explorer aliquoter Folgen oder Vorverarbeitungsschritte, in denen Sie exakter Teilerarithmetik mehr vertrauen als approximativen Heuristiken oder undurchsichtigen Black-Box-Rechnern, die Zwischensummen verbergen.