サイクロイド
転がる車輪の半径を入れると、サイクロイドの1つのアーチの長さ、その下の面積、曲線上の任意の点が分かります。半径2ならアーチの長さは16で、常に半径のちょうど8倍です。ブラウザで無料で使えます。
- 無料
- ブラウザで動作
- 登録不要
- データは端末の外に出ません
無料で実行
計算例
- 半径
- 2
- 計算モード
- Arc length
- 弧の長さ
- 16
サイクロイドは、直線上を転がる車輪の縁の一点が描く曲線で、歯車の歯や振り子時計から物理学の最速降下問題まで、あらゆる場面に現れます。この機能は車輪の半径を受け取り、実際に必要な量を返します。つまり、1アーチ全体の長さ(常に正確に8r)、1アーチの下の面積(3πr²)、または任意の回転角における曲線の正確な座標です。すべての結果は閉形式の公式から計算されるため、決定的で瞬時に得られ、毎回の呼び出しで完全に同一になります。
サイクロイドとは何か、なぜ半径だけで十分なのか
自転車の車輪の縁に一点を印を付け、地面の上を滑らずに転がる様子を観察してみてください。その点は上昇し、車輪が半回転したときに頂点に達し、1回転後に再び地面に触れます。この軌跡がサイクロイドです。
曲線全体は車輪の半径rというたった1つの数で決まります。曲線はx(t) = r·(t − sin t)、y(t) = r·(1 − cos t)と媒介変数表示され、tはラジアン単位の回転角だからです。1つのアーチはtが0から2πまで動く範囲に対応します。
他の測定値は一切不要です。車輪を拡大すれば曲線全体もそれに合わせて拡大されます。だからこそ、この機能は正の半径とご希望のモードだけをお尋ねするのです。
弧長と面積:知っておく価値のある2つの閉形式
サイクロイドのアーチに関する2つの事実は、その簡潔さゆえに有名です。1アーチの長さは正確に8r、つまり車輪の直径の4倍であり、これは1658年にChristopher Wrenが幾何学的に発見した結果で、微積分学がそれを当たり前にするずっと前のことでした。1アーチの下の面積は正確に3πr²で、生成円の面積のちょうど3倍です。
Galileoは切り抜きの重さを量ってこの比を経験的に推測し、後にTorricelliが証明しました。この機能は両方の値をこれらの公式から直接返します。半径2を送れば、弧長16、面積3π·4 ≈ 21.205750が得られます。
数値積分も近似処理もないため、同じ半径での繰り返し呼び出しは常にバイト単位で同一の結果を生成します。教科書と比較する際は、直線の上側を転がる車輪としてアーチを定義し、垂直軸を反転させる著者もいることにご留意ください。長さと面積は影響を受けません。
どちらも半径のみに依存し、図の向きには依存しないからです。
回転角における座標、および各モードの連携
アーチ全体の要約ではなく、特定の点が欲しい場合もあります。アニメーションにキーフレームを配置したり、歯車の歯面のプロファイルをサンプリングしたり、曲線をプロットしたりするためです。座標モードは、指定した回転角tで媒介変数方程式を評価し、xとyを返します。
結果は安定性のため小数点以下6桁に丸められます。
活用例
転がる車輪のアニメーション
連続する回転角で座標をサンプリングし、物理的に正確なアニメーションで車輪の縁の点にキーフレームを設定します。
サイクロイド歯車プロファイルの設計
サイクロイド歯車や時計のエスケープメントを製図する際、ピッチ半径からアーチの長さと面積を取得します。
ブラキストクロンの教授
正確な弧長8rと面積3πr²を、最速降下曲線のプロットされた座標と並べて学生に示します。
よくある質問
結果の単位は何ですか?
半径に指定した単位のままです。半径がセンチメートルなら、弧長はセンチメートル、面積は平方センチメートルになります。
座標に意味のあるtの値はどれですか?
方程式は周期的な構造を持つため、任意の有限数が使えます。最初のアーチはtが0から2π(約6.283185)の範囲に対応します。
結果は正確ですか?
弧長と面積は正確な閉形式8rと3πr²を使用し、座標はx = r(t − sin t)、y = r(1 − cos t)から直接得られます。すべての数値出力は安定した比較のため小数点以下6桁に丸められます。
アーチのいちばん高い点はどこですか？
車輪がちょうど半回転し、回転角がπになったところです。そのとき点の高さは半径の2倍で、直線に沿って半径のπ倍進んだ位置にあります。
アーチの下の面積は車輪の何倍ですか？
1つのアーチの下の面積は3πr²で、車輪の円の面積のちょうど3倍です。ガリレオが切り抜きの重さを比べて推測し、のちにトリチェリが証明しました。
関連ツール
開発者向け — APIアクセス
このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。
エンドポイント
Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。
お使いのスタックから呼び出す
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/cycloid \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"radius":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/cycloid", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"radius": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/cycloid",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"radius": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/cycloid", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"radius":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"radius":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/cycloid", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)リクエスト例
{
"radius": 2
}レスポンス例
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.cycloid",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。
料金
単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。
エラー
| HTTP | コード | 意味 |
|---|---|---|
401 | unauthorized | APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。 |
402 | insufficient_balance | 残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。 |
404 | unknown_type | 指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。 |
429 | rate_limited | リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。 |
技術的な注記
回転角における座標、および各モードの連携
t = πでは車輪は半回転し、点はアーチの頂点にあります:x = πr、y = 2r。t = 2πでは、線に沿って2πrのアーチ幅だけ進み、再び地面の高さに戻ります。同じロジックがこのページのブラウザ上では無料で、APIでは1回$0.002で動作するため、手作業でプロトタイプを作成し、数値を変えることなく後で自動化できます。
技術的な質問
料金はいくらですか?
APIリクエスト1回につき$0.002です。このページのブラウザ上でも無料で実行できます。
どのような入力が必要ですか?
正の有限数である半径と、arc_length、area、coordinatesのいずれかのモードです。座標モードには回転角tも必要です。
半径がゼロまたは負の場合はどうなりますか?
リクエストはinvalid_inputエラーで拒否され、課金されません。正の有限の半径のみ受け付けます。