Cicloide
Digite o raio de uma roda que rola e receba o comprimento de um arco de cicloide, a área sob ele ou qualquer ponto da curva: um raio de 2 dá um arco de 16, sempre exatamente oito vezes o raio. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Raio
- 2
- Modo de cálculo
- Arc length
- Comprimento do arco
- 16
A cicloide é a curva traçada por um ponto na borda de uma roda que rola sobre uma linha reta, e aparece em toda parte, dos dentes de engrenagens e relógios de pêndulo ao problema da descida mais rápida na física. Este recurso recebe o raio da roda e devolve a grandeza de que você realmente precisa: o comprimento de um arco completo (sempre exatamente 8r), a área sob um arco (3πr²) ou as coordenadas exatas da curva em qualquer ângulo de giro. Todos os resultados são calculados por fórmulas fechadas, portanto são determinísticos, instantâneos e idênticos a cada chamada.
O que é uma cicloide e por que o raio basta
Marque um único ponto na borda da roda de uma bicicleta e observe-o enquanto a roda rola sem deslizar pelo chão: o ponto sobe, atinge o pico quando a roda completou meia volta e desce de volta até tocar o chão após uma volta inteira. O caminho que ele desenha é uma cicloide.
Toda a forma é determinada por um único número — o raio da roda r — porque a curva é definida parametricamente como x(t) = r·(t − sin t) e y(t) = r·(1 − cos t), onde t é o ângulo de giro em radianos. Um arco corresponde a t variando de 0 a 2π. Nenhuma outra medida é necessária: ao escalar a roda, toda a curva escala junto, e é por isso que este recurso pede apenas um raio positivo e o modo desejado.
Comprimento do arco e área: duas fórmulas fechadas que valem conhecer
Dois fatos sobre o arco da cicloide são famosos justamente por serem tão elegantes. O comprimento de um arco é exatamente 8r — quatro diâmetros da roda — resultado encontrado geometricamente por Christopher Wren em 1658, muito antes de o cálculo torná-lo rotineiro. A área sob um arco é exatamente 3πr², ou seja, três vezes a área do círculo gerador; Galileo estimou a razão empiricamente pesando recortes, e Torricelli depois a demonstrou.
Este recurso devolve ambos os valores diretamente dessas fórmulas: envie um raio 2 e você obtém comprimento de arco 16 e área de 3π·4 ≈ 21.205750. Não há integração numérica nem etapa de aproximação, de modo que chamadas repetidas com o mesmo raio sempre produzem resultados idênticos.
Se estiver comparando com um livro didático, lembre-se de que alguns autores definem o arco com uma roda rolando sobre a linha e invertem o eixo vertical; o comprimento e a área não mudam, pois ambos dependem apenas do raio, e não da orientação escolhida para o desenho.
Coordenadas em um ângulo de giro e como os modos se encaixam
Às vezes você não quer um resumo do arco inteiro, mas um ponto específico dele — para posicionar um quadro-chave em uma animação, amostrar o perfil de um flanco de engrenagem ou plotar a curva. O modo coordinates avalia as equações paramétricas no ângulo de giro t fornecido e devolve x e y. Os resultados são arredondados para seis casas decimais por estabilidade.
Casos de uso
Animar uma roda que rola
Amostre coordenadas em ângulos de giro sucessivos para criar quadros-chave do ponto da borda de uma roda em uma animação fisicamente precisa.
Dimensionar um perfil de engrenagem cicloidal
Obtenha o comprimento do arco e a área a partir do raio primitivo ao desenhar dentes de engrenagens cicloidais ou escapamentos de relógio.
Ensinar a braquistócrona
Mostre aos alunos o comprimento de arco exato 8r e a área 3πr² junto às coordenadas plotadas da curva de descida mais rápida.
Perguntas frequentes
Quanto custa?
Também é gratuito executar no seu navegador nesta página.
Que entrada é necessária?
O modo coordinates também precisa do ângulo de giro t.
Em que unidades estão os resultados?
Na mesma unidade em que você informar o raio. Se o raio estiver em centímetros, o comprimento do arco sairá em centímetros e a área em centímetros quadrados.
Quais valores de t fazem sentido para coordinates?
Qualquer número finito funciona, pois as equações têm estrutura periódica; o primeiro arco corresponde a t entre 0 e 2π (cerca de 6.283185).
Os resultados são exatos?
O comprimento do arco e a área usam as formas fechadas exatas 8r e 3πr²; as coordenadas vêm diretamente de x = r(t − sin t), y = r(1 − cos t). Toda saída numérica é arredondada para seis casas decimais para comparações estáveis.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
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-d '{"radius":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/cycloid", {
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res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
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}Exemplo de resposta
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"type": "math.cycloid",
"status": "queued",
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}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Coordenadas em um ângulo de giro e como os modos se encaixam
Em t = π, a roda rolou meia volta e o ponto está no topo do arco: x = πr, y = 2r. Em t = 2π, ele está de volta ao nível do chão, uma largura de arco completa de 2πr adiante na linha. A mesma lógica roda gratuitamente no seu navegador nesta página e na API por US$ 0,002 por chamada, então você pode prototipar manualmente e automatizar depois sem que os números mudem.
Perguntas técnicas
O que acontece se o raio for zero ou negativo?
A requisição é rejeitada com um erro invalid_input e não é cobrada. Apenas raios finitos positivos são aceitos.