Cycloïde

La cycloïde est la courbe tracée par un point du pourtour d'une roue qui roule sur une droite ; on la retrouve partout, des dents d'engrenages aux horloges à pendule, jusqu'au problème de la descente la plus rapide en physique. Cette fonction prend le rayon de la roue et renvoie la grandeur dont vous avez réellement besoin : la longueur d'une arche complète (toujours exactement 8r), l'aire sous une arche (3πr²), ou les coordonnées exactes de la courbe pour tout angle de roulement. Chaque résultat est calculé à partir de formules exactes : il est donc déterministe, instantané et identique à chaque appel.

Qu'est-ce qu'une cycloïde et pourquoi le rayon suffit

Marquez un point sur le pourtour d'une roue de bicyclette et observez-le pendant que la roue roule sans glisser sur le sol : le point s'élève, atteint son sommet après un demi-tour, puis redescend toucher le sol après un tour complet. La trajectoire qu'il dessine est une cycloïde.

Toute la forme est déterminée par un seul nombre — le rayon r de la roue — car la courbe est définie paramétriquement par x(t) = r·(t − sin t) et y(t) = r·(1 − cos t), où t est l'angle de roulement en radians. Une arche correspond à t variant de 0 à 2π. Aucune autre mesure n'est nécessaire : agrandissez la roue et toute la courbe s'agrandit avec elle, c'est pourquoi cette fonction ne demande rien de plus qu'un rayon positif et le mode souhaité.

Longueur d'arc et aire : deux formules exactes à connaître

Deux propriétés de l'arche de cycloïde sont célèbres précisément parce qu'elles sont si élégantes. La longueur d'une arche vaut exactement 8r — quatre diamètres de la roue — résultat démontré géométriquement par Christopher Wren en 1658, bien avant que le calcul infinitésimal ne le rende routinier. L'aire sous une arche vaut exactement 3πr², soit trois fois l'aire du cercle générateur ; Galilée avait deviné ce rapport empiriquement en pesant des découpes, et Torricelli l'a prouvé ensuite.

Cette fonction renvoie les deux valeurs directement à partir de ces formules : envoyez un rayon de 2 et vous obtenez une longueur d'arc de 16 et une aire de 3π·4 ≈ 21.205750. Il n'y a ni intégration numérique ni étape d'approximation : des appels répétés avec le même rayon produisent donc toujours des résultats identiques à l'octet près.

Si vous comparez avec un manuel, notez que certains auteurs définissent l'arche avec une roue roulant le long du dessus d'une droite et inversent l'axe vertical ; la longueur et l'aire ne changent pas, car elles ne dépendent que du rayon et non de l'orientation choisie pour le dessin.

Coordonnées pour un angle de roulement, et comment les modes s'articulent

Parfois, vous ne voulez pas un résumé de l'arche entière, mais un point précis de la courbe — pour placer une image-clé dans une animation, échantillonner le profil d'un flanc d'engrenage ou tracer la courbe. Le mode coordinates évalue les équations paramétriques à l'angle de roulement t que vous fournissez et renvoie x et y. Les résultats sont arrondis à six décimales pour plus de stabilité.