Cicloide

La cicloide es la curva que traza un punto del borde de una rueda al rodar sobre una línea recta, y aparece en todas partes: desde los dientes de engranaje y los relojes de péndulo hasta el problema del descenso más rápido en física. Esta capacidad toma el radio de la rueda y devuelve la magnitud que usted necesita: la longitud de un arco completo (siempre exactamente 8r), el área bajo un arco (3πr²) o las coordenadas exactas de la curva para cualquier ángulo de giro. Cada resultado se calcula con fórmulas en forma cerrada, por lo que es determinista, instantáneo e idéntico en cada llamada.

Qué es una cicloide y por qué basta el radio

Marque un solo punto en el borde de la rueda de una bicicleta y obsérvelo mientras la rueda rueda sin deslizarse por el suelo: el punto sube, alcanza su altura máxima cuando la rueda ha girado media vuelta y vuelve a bajar hasta tocar el suelo tras una vuelta completa. El camino que dibuja es una cicloide.

Toda la forma queda fijada por un único número —el radio de la rueda r— porque la curva se define paramétricamente como x(t) = r·(t − sin t) e y(t) = r·(1 − cos t), donde t es el ángulo de giro en radianes. Un arco corresponde a t recorriendo de 0 a 2π. No se necesita ninguna otra medida: al escalar la rueda, toda la curva se escala con ella, y por eso esta capacidad solo pide un radio positivo y el modo que usted desea.

Longitud de arco y área: dos fórmulas cerradas que vale la pena conocer

Dos datos sobre el arco de la cicloide son famosos precisamente por su sencillez. La longitud de un arco es exactamente 8r —cuatro diámetros de la rueda—, un resultado hallado geométricamente por Christopher Wren en 1658, mucho antes de que el cálculo lo volviera rutinario. El área bajo un arco es exactamente 3πr², es decir, tres veces el área del círculo generador; Galileo intuyó la proporción de forma empírica pesando recortes, y Torricelli la demostró después.

Esta capacidad devuelve ambos valores directamente desde esas fórmulas: envíe un radio de 2 y obtendrá una longitud de arco de 16 y un área de 3π·4 ≈ 21.205750. No hay integración numérica ni pasos de aproximación, así que las llamadas repetidas con el mismo radio producen siempre resultados idénticos byte a byte.

Si lo compara con un libro de texto, tenga en cuenta que algunos autores definen el arco con una rueda que rueda por la parte superior de la línea e invierten el eje vertical; la longitud y el área no cambian, porque ambas dependen solo del radio y no de la orientación que elija para el dibujo.

Coordenadas en un ángulo de giro y cómo encajan los modos

A veces no necesita un resumen de todo el arco, sino un punto concreto de él: para colocar un fotograma clave en una animación, muestrear el perfil del flanco de un engranaje o trazar la curva. El modo coordinates evalúa las ecuaciones paramétricas en el ángulo de giro t que usted indique y devuelve x e y. Los resultados se redondean a seis decimales para mayor estabilidad.