Zykloide

Die Zykloide ist die Kurve, die ein Punkt auf dem Rand eines Rades beschreibt, wenn es auf einer Geraden abrollt – sie begegnet überall, von Zahnradflanken und Pendeluhren bis zum Problem des schnellsten Abstiegs in der Physik. Diese Fähigkeit nimmt den Radradius entgegen und liefert genau die Größe, die Sie brauchen: die Länge eines vollständigen Bogens (stets exakt 8r), die Fläche unter einem Bogen (3πr²) oder die exakten Koordinaten der Kurve bei jedem beliebigen Rollwinkel. Jedes Ergebnis wird aus geschlossenen Formeln berechnet und ist daher deterministisch, sofort verfügbar und bei jedem Aufruf identisch.

Was eine Zykloide ist und warum der Radius genügt

Markieren Sie einen einzelnen Punkt auf dem Rand eines Fahrradrads und beobachten Sie ihn, während das Rad ohne Schlupf über den Boden rollt: Der Punkt steigt auf, erreicht seinen Höhepunkt nach einer halben Umdrehung und kehrt nach einer vollen Umdrehung zum Boden zurück. Die entstehende Bahn ist eine Zykloide. Die gesamte Form wird durch eine einzige Zahl festgelegt – den Radradius r –, denn die Kurve ist parametrisch definiert als x(t) = r·(t − sin t) und y(t) = r·(1 − cos t), wobei t der Rollwinkel im Bogenmaß ist.

Ein Bogen entspricht einem Verlauf von t zwischen 0 und 2π. Keine weitere Messung ist nötig: Skaliert man das Rad, skaliert die ganze Kurve mit. Deshalb verlangt diese Fähigkeit lediglich einen positiven Radius und den gewünschten Modus.

Bogenlänge und Fläche: zwei geschlossene Formeln, die man kennen sollte

Zwei Eigenschaften des Zykloidenbogens sind gerade wegen ihrer Eleganz berühmt. Die Länge eines Bogens beträgt exakt 8r – vier Durchmesser des Rades –, ein Ergebnis, das Christopher Wren bereits 1658 geometrisch fand, lange bevor die Infinitesimalrechnung es zur Routine machte. Die Fläche unter einem Bogen beträgt exakt 3πr², also das Dreifache der Fläche des erzeugenden Kreises; Galileo ahnte das Verhältnis empirisch durch das Wiegen von Ausschnitten, und Torricelli bewies es später.

Diese Fähigkeit liefert beide Werte direkt aus diesen Formeln: Senden Sie einen Radius von 2, erhalten Sie eine Bogenlänge von 16 und eine Fläche von 3π·4 ≈ 21.205750. Es gibt keine numerische Integration und keinen Näherungsschritt, daher liefern wiederholte Aufrufe mit demselben Radius stets bytidentische Ergebnisse.

Wenn Sie mit einem Lehrbuch vergleichen, beachten Sie, dass manche Autoren den Bogen von einem Rad definieren, das entlang der Oberseite einer Linie rollt, und die vertikale Achse umkehren; Länge und Fläche bleiben davon unberührt, da beide nur vom Radius abhängen und nicht von der gewählten Zeichenausrichtung.

Koordinaten bei einem Rollwinkel und das Zusammenspiel der Modi

Manchmal benötigen Sie keine Zusammenfassung des gesamten Bogens, sondern einen bestimmten Punkt darauf – etwa um ein Keyframe in einer Animation zu setzen, das Profil einer Zahnflanke abzutasten oder die Kurve zu zeichnen. Der Modus coordinates wertet die parametrischen Gleichungen beim von Ihnen angegebenen Rollwinkel t aus und liefert x und y. Die Ergebnisse werden aus Stabilitätsgründen auf sechs Dezimalstellen gerundet.