المنحنى الدويري
أدخل نصف قطر عجلة تتدحرج واحصل على طول قوس واحد من المنحنى الدويري أو المساحة تحته أو أي نقطة عليه: نصف قطر 2 يعطي قوسًا طوله 16، أي ثمانية أضعاف نصف القطر دائمًا. مجاني في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- نصف القطر
- 2
- وضع الحساب
- Arc length
- طول القوس
- 16
المنحنى الدوّاري هو المسار الذي ترسمه نقطة على محيط عجلة وهي تتدحرج على خط مستقيم، ويظهر في مجالات شتى من أسنان التروس وساعات البندول إلى مسألة أسرع هبوط في الفيزياء. تأخذ هذه الأداة نصف قطر العجلة وتعيد لك القيمة التي تحتاجها فعلًا: طول قوس كامل (وهو دائمًا 8r تمامًا)، أو المساحة تحت قوس واحد (3πr²)، أو الإحداثيات الدقيقة للمنحنى عند أي زاوية تدحرج. تُحسب جميع النتائج من صيغ مغلقة، فهي حتمية وفورية ومطابقة لذاتها في كل طلب.
ما المنحنى الدوّاري ولماذا يكفي نصف القطر وحده؟
علّم نقطة واحدة على محيط عجلة دراجة وراقبها وهي تتدحرج دون انزلاق على الأرض: ترتفع النقطة حتى تبلغ ذروتها عند إتمام العجلة نصف دورة، ثم تهبط لتلامس الأرض بعد دورة كاملة. المسار الذي ترسمه هو المنحنى الدوّاري. ويتتحدد شكله كاملًا بعدد واحد هو نصف قطر العجلة r، لأن المنحنى يُعرَّف وسيطيًا بالعلاقتين x(t) = r·(t − sin t) وy(t) = r·(1 − cos t)، حيث t زاوية التدحرج بالراديان.
ويقابل القوس الواحد تغير t من 0 إلى 2π. لا حاجة إلى أي قياس آخر: فكبّر العجلة يتكبر المنحنى كله معها، ولهذا لا تطلب هذه الأداة سوى نصف قطر موجب والنمط الذي تريده.
طول القوس والمساحة: صيغتان مغلقتان جديرتان بالمعرفة
اشتهرت حقيقتان عن قوس المنحنى الدوّاري تحديدًا لبساطتهما البالغة. فطول القوس الواحد يساوي 8r تمامًا، أي أربعة أقطار للعجلة، وهي نتيجة توصل إليها Christopher Wren هندسيًا عام 1658، قبل زمن طويل من أن يجعلها التفاضل والتكامل أمرًا روتينيًا. والمساحة تحت قوس واحد تساوي 3πr² تمامًا، أي ثلاثة أمثال مساحة الدائرة المولِّدة؛ وقد خمّن Galileo النسبة تجريبيًا بوزن قصاصات ورقية، ثم أثبتها Torricelli لاحقًا.
تعيد هذه الأداة القيمتين مباشرة من هاتين الصيغتين: أرسل نصف قطر مقداره 2 فتحصل على طول قوس يساوي 16 ومساحة 3π·4 ≈ 21.205750. لا تكامل عددي ولا خطوة تقريب، لذا تُنتج الطلبات المتكررة بنصف القطر نفسه نتائج متطابقة تمامًا. وإن كنت تقارن بكتاب دراسي، فتنبّه إلى أن بعض المؤلفين يعرّفون القوس بعجلة تتدحرج أعلى الخط ويقلبون المحور الرأسي؛ ولا يتأثر الطول ولا المساحة بذلك، إذ يعتمد كلاهما على نصف القطر وحده لا على الاتجاه الذي تختاره للرسم.
الإحداثيات عند زاوية تدحرج، وكيف تتكامل الأنماط
أحيانًا لا تريد ملخصًا للقوس بأكمله بل نقطة محددة عليه: لوضع إطار مفتاحي في حركة رسومية، أو لأخذ عينات من جانب سن ترس، أو لرسم المنحنى. يحسب نمط coordinates المعادلتين الوسيطيتين عند زاوية التدحرج t التي تزوّده بها ويعيد x وy. تُقرَّب النتائج إلى ست خانات عشرية لضمان الاستقرار.
حالات الاستخدام
تحريك عجلة متدحرجة
خذ عينات من الإحداثيات عند زوايا تدحرج متتالية لتعيين الإطارات المفتاحية لنقطة محيط العجلة في حركة رسومية دقيقة فيزيائيًا.
تصميم ترس دوّاري الأسنان
احصل على طول القوس والمساحة من نصف القطر الاسمي عند رسم أسنان التروس الدوّارية أو نوابض الساعات.
تدريس منحنى أسرع هبوط
اعرض للطلاب طول القوس الدقيق 8r والمساحة 3πr² إلى جانب إحداثيات منحنى أسرع هبوط مرسومة.
الأسئلة الشائعة
كم تبلغ التكلفة؟
كما يمكن تشغيلها مجانًا في متصفحك على هذه الصفحة.
بأي وحدة تكون النتائج؟
بالوحدة نفسها التي تزود بها نصف القطر. فإذا كان نصف القطر بالسنتيمتر، كان طول القوس بالسنتيمتر والمساحة بالسنتيمتر المربع.
ما قيم t المنطقية للإحداثيات؟
أي عدد منتهٍ يصلح، لأن المعادلات دورية البنية؛ ويقابل القوس الأول قيم t بين 0 و2π (نحو 6.283185).
هل النتائج دقيقة تمامًا؟
يُحسب طول القوس والمساحة بالصيغتين المغلقتين الدقيقتين 8r و3πr²، أما الإحداثيات فتأتي مباشرة من x = r(t − sin t) وy = r(1 − cos t). وتُقرَّب جميع المخرجات العددية إلى ست خانات عشرية لمقارنات مستقرة.
أين تقع أعلى نقطة في قوس المنحنى الدويري؟
في منتصف الدحرجة، عندما تكون العجلة قد أتمت نصف دورة وتصبح الزاوية π. هناك يكون ارتفاع النقطة ضعف نصف القطر، وتكون قد تقدمت على الخط مسافة π مضروبة في نصف القطر.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/cycloid \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"radius":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/cycloid", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"radius": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/cycloid",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"radius": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/cycloid", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"radius":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"radius":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/cycloid", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"radius": 2
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.cycloid",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
الإحداثيات عند زاوية تدحرج، وكيف تتكامل الأنماط
عند t = π تكون العجلة قد تدحرجت نصف دورة وتقع النقطة في قمة القوس: x = πr، y = 2r. وعند t = 2π تعود إلى مستوى الأرض بعد أن قطعت عرض قوس كامل قدره 2πr على الخط. والمنطق نفسه يعمل مجانًا في متصفحك على هذه الصفحة وخلف API بسعر $0.002 لكل طلب، فيمكنك التجربة يدويًا ثم الأتمتة لاحقًا دون أن تتغير الأرقام أبدًا.
أسئلة تقنية
ما المدخلات التي تحتاجها؟
نصف قطر يكون عددًا موجبًا منتهيًا، إضافة إلى نمط: arc_length أو area أو coordinates. ويتطلب نمط coordinates أيضًا زاوية التدحرج t.
ماذا يحدث إذا كان نصف القطر صفرًا أو سالبًا؟
يُرفض الطلب برمز الخطأ invalid_input دون احتساب أي رسوم. ولا تُقبل سوى أنصاف الأقطار الموجبة المنتهية.