Cicloide

La cicloide è la curva tracciata da un punto sul bordo di una ruota che rotola lungo una retta, e ricorre ovunque, dai denti degli ingranaggi agli orologi a pendolo fino al problema della discesa più rapida in fisica. Questa funzionalità prende il raggio della ruota e restituisce la grandezza che Le serve davvero: la lunghezza di un arco completo (sempre esattamente 8r), l'area sotto un arco (3πr²) oppure le coordinate esatte della curva a qualsiasi angolo di rotazione. Ogni risultato deriva da formule in forma chiusa, quindi è deterministico, istantaneo e identico a ogni chiamata.

Che cos'è una cicloide e perché basta il raggio

Segni un punto sul bordo della ruota di una bicicletta e lo osservi mentre la ruota rotola senza slittare sul terreno: il punto sale, raggiunge il culmine dopo mezzo giro e torna a toccare il suolo dopo un giro completo. Il percorso disegnato è una cicloide.

L'intera forma è fissata da un solo numero — il raggio r della ruota — perché la curva è definita in forma parametrica come x(t) = r·(t − sin t) e y(t) = r·(1 − cos t), dove t è l'angolo di rotazione in radianti. Un arco corrisponde a t che va da 0 a 2π. Non serve altro: scalando la ruota si scala l'intera curva, ed è per questo che la funzionalità richiede soltanto un raggio positivo e la modalità desiderata.

Lunghezza d'arco e area: due forme chiuse da conoscere

Due proprietà dell'arco di cicloide sono celebri proprio per la loro eleganza. La lunghezza di un arco è esattamente 8r — quattro diametri della ruota — un risultato trovato geometricamente da Christopher Wren nel 1658, ben prima che il calcolo infinitesimale lo rendesse routine. L'area sotto un arco è esattamente 3πr², cioè tre volte l'area del cerchio generatore; Galileo intuì il rapporto in modo empirico pesando dei ritagli, e Torricelli lo dimostrò in seguito.

Questa funzionalità restituisce entrambi i valori direttamente da quelle formule: con raggio 2 ottiene una lunghezza d'arco di 16 e un'area di 3π·4 ≈ 21.205750. Non c'è integrazione numerica né passi di approssimazione, quindi chiamate ripetute con lo stesso raggio danno risultati identici byte per byte. Se confronta i valori con un manuale, tenga presente che alcuni autori definiscono l'arco con una ruota che rotola sopra la retta e invertono l'asse verticale; lunghezza e area non cambiano, perché dipendono solo dal raggio e non dall'orientamento scelto per il disegno.

Coordinate a un angolo di rotazione e come si combinano le modalità

A volte non serve un riepilogo dell'intero arco, ma un punto specifico: per posizionare un fotogramma chiave in un'animazione, campionare il profilo del fianco di un ingranaggio o tracciare la curva. La modalità coordinates valuta le equazioni parametriche all'angolo di rotazione t fornito e restituisce x e y. I risultati sono arrotondati a sei cifre decimali per stabilità.