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ベンフォードの法則

ベンフォードの法則では、先頭が1の数値は約30.103パーセントあるのに、9は約4.576パーセントしかありません。先頭の数字を選ぶと期待される割合が分かり、手元の集計と比べる理論上の基準になります。ブラウザで無料で使えます。

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計算例

入力した場合

桁の数字: 1

結果

パーセンテージ: 30.1029995664
確率: 0.3010299957

ベンフォードの法則は、自然界に現れる多くの数値の集まりに見られる規則です。先頭の有効桁は9より1の方がはるかに多い、というものです。桁dの期待割合は、1に1/dを足した値の常用対数で、P(d) = log10(1 + 1/d)と書きます。このベンフォードの法則計算機は、1から9までの先頭桁を1つ受け取り、その期待頻度を百分率で返し、単位区間上の確率と教科書どおりの数式文字列も添えます。桁0は先頭桁ではないため拒否され、分数や1から9の閉区間の外の値も同様です。

ベンフォードの法則が述べることと期待頻度の求め方

Simon Newcombは1881年、対数表の先頭ページが後ろのページより擦り減っていることに気づき、Frank Benfordは後に同じ先頭桁の法則をより広い経験表で発表しました。数学的な主張は単純です。

正の数が対数スケール上のどこにでも等しくあり得るなら、仮数は対数空間で一様に分布し、先頭桁がdである確率は、そのスケール上でdからd+1までの区間の幅になります。その幅が log10(1 + 1/d) です。dが1のとき区間は1から2までで、十進の約30.103パーセントを占めます。

dが9のとき9から10までの区間は約4.576パーセントしか占めません。これら9個の確率の和は1になり、教室での検算に使えます。法則は尺度不変です。観測値をすべて定数倍しても（通貨・単位・報告尺度を変えても）先頭桁の予測割合は変わりません。

対数空間での定数シフトは、対数の小数部が等しくあり得るまま残すからです。データが何桁にもまたがり、乗法的な過程から生じるときにも現れやすいです。人口、河川長、住所、物理定数、多くの会計元帳が典型です。

割り当て識別子、狭い範囲の測定、くじ、線形スケールで一様な系列には当てはまりません。この端点はデータ集合を法則に照らして検定しません。要求された1桁について閉形式の期待頻度を評価するので、表を作り、宿題を採点し、観測割合を理論棒と比べるときに、その都度対数を導き直す必要がありません。

入力できる数字と結果の見方

1から9の整数を1つ指定してください。成功時の本体は解析済みの桁、百分率として100倍した log10(1 + 1/d)、単位区間上の同じ量としての probability、数式文字列 P(d) = log10(1 + 1/d) を返します。値は安定した有効数字12桁へ丸められるので、自動検査は実行環境をまたいでバイト単位で一致します。

古典的な確認例は次のとおりです。桁1は百分率およそ30.103、確率およそ0.30103。桁2は約17.609パーセント。

桁9は約4.576パーセント。対話授業には無料のブラウザフォームを配線し、監査ブックや採点器向けに1から9の全表が必要なときは、同じ契約をスクリプトから呼び出してください。検証失敗は前払い残高を消費しません。

期待頻度が役立つ場面

統計と鑑識会計の授業では、先頭桁の公式を書き、9つの期待百分率を暗記から述べさせることが絶えません。内部監査とデータ品質のチームは、観測した先頭桁ヒストグラムをこれらの理論棒と照合します。これはスクリーニング信号であり、不正の判決ではありません。

大きなずれは、捏造数字、打ち切られた範囲、二つの過程の混合、あるいは法則に向かないデータ集合を意味し得ます。選挙や政治資金の研究者、報道、オープンデータの分析者は、先頭桁の図を公表し比較線の出典が必要なときに、同じ期待頻度を使います。後から全標本に対するカイ二乗適合度が必要なら、この1桁の期待頻度ページを過負荷にせず、別の検索意図として扱ってください。

活用例

教室でのベンフォード演習

学習者は1から9の桁を送り、期待百分率を手計算の100×log10(1 + 1/d)と照合します。

監査と元帳のスクリーニング表

請求書・仕訳・公開帳簿を見直すとき、観測対期待の図のために先頭桁の理論棒9本を組み立てます。

採点フィクスチャとノート

観測割合をベンフォードの法則と比べる単体テスト、LMS採点器、研究ノートに、決定的な期待頻度を固定します。

よくある質問

先頭桁に対するベンフォードの法則の公式は何ですか？

整数桁 d が1から9のとき P(d) = log10(1 + 1/d) です。この計算機はその値を百分率と単位区間上の確率で返します。

応答には何が含まれますか？

エコーした桁、percentage（ベンフォード確率の100倍）、[0, 1] 上の probability、数式文字列 P(d) = log10(1 + 1/d) です。

データ集合がベンフォードの法則に従うかを検定しますか？

いいえ。 1桁の理論的な期待頻度だけを返します。観測割合とこれらの棒の比較は、別の適合度手続きで行ってください。

ベンフォードの法則はどんなデータにも当てはまりますか？

いいえ。人口や川の長さのように、何桁にもわたり掛け算的に増えるデータに現れやすい性質です。割り当てられた番号、範囲の狭い測定値、宝くじの当選番号などには当てはまりません。

なぜ0は先頭の数字として入力できないのですか？

0は先頭の有効数字にならないためです。受け付けるのは1から9までの整数だけで、小数やこの範囲外の値も入力できません。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/stat/benfords-law

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/stat/benfords-law \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"digit":1}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/stat/benfords-law", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "digit": 1
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/stat/benfords-law",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "digit": 1
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/stat/benfords-law", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"digit":1}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"digit":1}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/stat/benfords-law", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "digit": 1
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "stat.benfords_law",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

同じ純粋関数が無料のブラウザツールと前払いAPI経路を動かすので、監査ノート、試験の正答、鑑識スクリプトが先頭の1の古典的な30.1パーセントで食い違うことはありません。成功したAPI呼び出しは公開ベース料金$0.002で課金され、不正な入力は課金されません。

入力契約、応答フィールド、検証エラー

必須フィールド digit を持つJSON本体をPOSTするか、短い別名 d または leading_digit を使います。JSON数値と整数文字列を受け付けるので、フォームはクライアント側の型変換なしにテキスト欄を送れます。フィールド欠落、空、非数値、1.5のような分数、ゼロ、十、あるいは1から9の外は、digit が1から9の整数でなければならないというメッセージ付きの invalid_input で失敗します。これらの失敗は課金されません。9本の理論棒は標本からの推定ではなく決定的な定数なので、同じ桁を送った呼び出しは常に同じJSONを受け取ります。成功したAPI呼び出しの料金は公開ベース$0.002／件です。

ベンフォード期待頻度APIが役立つ場面

整形済みJSONを返す信頼できる神託は、採点・デモ準備・対話型授業の設計を速め、誰かが自然対数と間違えて打った表計算の対数を避けられます。本能力は純粋なparseエンジンのため、成功呼び出しはモデルトークンも外向きネットワークもなく公開ベース料金$0.002のみで、検証失敗は残高を消費しません。リクエストを小さく保ち、丸めた百分率をテストに固定すれば、自前の統計ライブラリを立てずに宿題・LMSプラグイン・エッジワーカー向けの再現可能な答えが得られます。

技術的な質問

桁0が拒否されるのはなぜですか。

先頭の有効桁は0になり得ません。ベンフォードの先頭桁の法則は d = 1, 2, …, 9 にだけ定義されます。要求は invalid_input で失敗し、課金されません。

ベンフォードの法則計算機の料金はいくらですか。

ブラウザツールは無料で端末内で動きます。API要求は成功1件あたり $0.002 の前払いKIT残高を使い、不正な入力は課金しません。

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