Ley de Benford
Según la ley de Benford, cerca del 30,103 % de los números empiezan por 1 y solo un 4,576 % por 9. Elija un dígito inicial y obtendrá su frecuencia esperada, la referencia teórica con la que comparar sus propios recuentos. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- Dígito
- 1
- Porcentaje
- 30,1029995664
- Probabilidad
- 0,3010299957
La ley de Benford describe una regularidad llamativa en muchas colecciones de números que aparecen en la naturaleza: el primer dígito significativo es 1 con mucha más frecuencia que 9. La cuota esperada del dígito d es el logaritmo en base diez de uno más uno partido por d, escrita P(d) = log10(1 + 1/d). Esta calculadora de la ley de Benford acepta un único dígito inicial de 1 a 9 y devuelve esa frecuencia esperada como porcentaje, junto con la probabilidad en el intervalo unitario y la cadena de la fórmula de libro. El dígito 0 no es un dígito inicial y se rechaza, igual que las fracciones y cualquier valor fuera del intervalo cerrado de 1 a 9.
Qué afirma la ley de Benford y cómo se calcula la frecuencia esperada
Simon Newcomb observó en 1881 que las primeras páginas de las tablas de logaritmos estaban más gastadas que las últimas, y Frank Benford publicó después la misma ley del primer dígito con tablas empíricas más amplias.
El enunciado matemático es sencillo: si un número positivo tiene la misma verosimilitud de situarse en cualquier punto de una escala logarítmica, la mantisa se distribuye de forma uniforme en el espacio logarítmico, y la probabilidad de que el dígito inicial sea d es la anchura del intervalo que va de d a d más uno en esa escala. Esa anchura es log10(1 + 1/d). Cuando d vale 1 el intervalo corre de 1 a 2 y ocupa cerca del 30.103 por ciento de la década.
Cuando d vale 9 el intervalo de 9 a 10 ocupa solo cerca del 4.576 por ciento. Esas nueve probabilidades suman uno, comprobación útil en el aula. La ley es invariante de escala: multiplicar cada observación por una constante (cambiar moneda, unidades o escala de informe) no altera las cuotas previstas del primer dígito, porque un desplazamiento constante en el espacio logarítmico deja la parte fraccionaria del logaritmo igualmente verosímil.
También suele aparecer cuando los datos cubren varios órdenes de magnitud y nacen de procesos multiplicativos: poblaciones, longitudes de ríos, direcciones, constantes físicas y muchos libros contables. No se aplica a identificadores asignados, mediciones muy acotadas, sorteos ni series uniformes en escala lineal. Este extremo no contrasta un conjunto de datos con la ley.
Evalúa la frecuencia esperada en forma cerrada para un dígito pedido, de modo que usted pueda construir tablas, corregir deberes o comparar una cuota observada con la barra teórica sin volver a derivar el logaritmo cada vez.
Contrato de entrada, campos de respuesta y errores de validación
Indique un único entero de 1 a 9. Esos fallos no se facturan. Si todo es correcto, el cuerpo devuelve el dígito analizado, percentage como cien veces log10(1 + 1/d), probability como la misma magnitud en el intervalo unitario, y formula como la cadena P(d) = log10(1 + 1/d).
Los valores se redondean a una precisión estable de doce cifras significativas para que las comprobaciones automáticas coincidan byte a byte entre entornos. Comprobaciones clásicas: el dígito 1 da un porcentaje cercano a 30.103 y una probabilidad cercana a 0.30103; el dígito 2 da cerca del 17.609 por ciento; el dígito 9 da cerca del 4.576 por ciento.
Conecte el formulario gratuito del navegador para la enseñanza interactiva y, después, llame al mismo contrato desde scripts cuando necesite la tabla completa de 1 a 9 para un libro de auditoría o un calificador.
Quién usa las frecuencias esperadas del primer dígito
Los cursos de estadística y de contabilidad forense piden a menudo escribir la fórmula del primer dígito y citar de memoria los nueve porcentajes esperados. Los equipos de auditoría interna y de calidad de datos comparan un histograma observado del dígito inicial con estas barras teóricas como señal de cribado, no como veredicto de fraude: una desviación grande puede significar cifras inventadas, un rango truncado, una mezcla de dos procesos o, simplemente, el conjunto inadecuado para la ley.
Investigadores electorales y de financiación de campañas, periodistas y analistas de datos abiertos usan las mismas frecuencias esperadas cuando publican gráficos del primer dígito y necesitan una fuente documentada para la línea de comparación. Mantenga las peticiones pequeñas, fije el porcentaje redondeado en las pruebas y obtendrá respuestas reproducibles para deberes, plugins LMS y workers en el borde sin montar una biblioteca estadística propia.
Si más adelante necesita una bondad de ajuste chi-cuadrado sobre una muestra completa, trátelo como una intención de búsqueda distinta en lugar de sobrecargar esta página de frecuencia esperada de un solo dígito.
Qué puede hacer con ella
Ejercicios de Benford en el aula
Los alumnos envían un dígito de 1 a 9 y comprueban el porcentaje esperado frente al cálculo a mano de 100 veces log10(1 + 1/d).
Tablas de cribado de auditoría y libros
Construya las nueve barras teóricas del primer dígito para un gráfico observado frente a esperado al revisar facturas, asientos o libros públicos.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula de la ley de Benford para un dígito inicial?
P(d) = log10(1 + 1/d) para un dígito entero d de 1 a 9. Esta calculadora devuelve ese valor como porcentaje y como probabilidad en el intervalo unitario.
¿Por qué se rechaza el dígito 0?
Un dígito significativo inicial no puede ser 0.
¿Qué contiene la respuesta?
El dígito repetido, percentage (cien veces la probabilidad de Benford), probability en [0, 1] y la cadena formula P(d) = log10(1 + 1/d).
¿Comprueba si mis datos siguen la ley de Benford?
No. Solo devuelve la frecuencia teórica esperada de un dígito. Compare sus propias cuotas observadas con estas barras mediante un procedimiento de bondad de ajuste aparte.
¿Cuánto cuesta la calculadora de la ley de Benford?
La herramienta del navegador es gratuita y se ejecuta en local.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/stat/benfords-law \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"digit":1}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/stat/benfords-law", {
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"Content-Type": "application/json"
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
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headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
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"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
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req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/stat/benfords-law", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
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}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "stat.benfords_law",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
La misma función pura alimenta la herramienta gratuita del navegador y el camino de API prepago, de modo que los cuadernos de auditoría, las claves de examen y los scripts forenses no discrepan del clásico treinta coma uno por ciento para los unos iniciales. Las llamadas API correctas se facturan a la base publicada $0.002; la entrada no válida no se cobra.
Contrato de entrada, campos de respuesta y errores de validación
Envíe por POST un cuerpo JSON con un campo obligatorio llamado digit, o use los alias cortos d o leading_digit. Se aceptan números JSON y cadenas de enteros para que los formularios envíen un campo de texto sin conversión en el cliente. Si el campo falta, está vacío, no es numérico, es una fracción como 1.5, es cero, es diez o queda fuera de 1 a 9, el motor falla con invalid_input y un mensaje de que digit debe ser un entero entre 1 y 9. Las nueve barras teóricas son constantes deterministas, no estimaciones de una muestra, así que dos llamadores con el mismo dígito reciben siempre el mismo JSON. El precio de las llamadas API correctas es la base publicada de $0.002 por ítem; los fallos de validación no consumen saldo prepago.
Dónde aporta valor una API de frecuencia esperada de Benford
Un oráculo de confianza que devuelve JSON limpio acelera la corrección, la preparación de demostraciones y el diseño de lecciones interactivas, sin un logaritmo de hoja de cálculo que alguien escribió como logaritmo natural por error. Los autores de temario que construyen widgets de navegador quieren la misma forma JSON gratis en la página y de pago por la API, para alinear hojas sin conexión y calificadores en línea. Como esta capacidad es un motor parse puro, cada llamada correcta cuesta el precio base publicado $0.002 sin tokens de modelo y sin red de salida, y la validación fallida no consume saldo.
Casos de integración
Fixtures de calificación y cuadernos
Fije frecuencias esperadas deterministas en pruebas unitarias, calificadores LMS y cuadernos de investigación que comparan cuotas observadas con la ley de Benford.