Legge di Benford
Secondo la legge di Benford circa il 30,103% dei numeri inizia con 1, ma solo il 4,576% circa inizia con 9. Scelga una cifra iniziale per ottenere la sua frequenza attesa, il riferimento teorico con cui confrontare i suoi conteggi. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- Cifra
- 1
- Percentuale
- 30,1029995664
- Probabilità
- 0,3010299957
La legge di Benford descrive una regolarità notevole in molte raccolte di numeri che compaiono in natura: la prima cifra significativa è 1 molto più spesso di 9. La quota attesa della cifra d è il logaritmo in base dieci di uno più uno su d, scritta P(d) = log10(1 + 1/d). Questo calcolatore della legge di Benford accetta una sola cifra iniziale da 1 a 9 e restituisce quella frequenza attesa in percentuale, insieme alla probabilità sull'intervallo unitario e alla stringa della formula da manuale. La cifra 0 non è una cifra iniziale e viene rifiutata, come le frazioni e qualsiasi valore fuori dall'intervallo chiuso da 1 a 9.
Cosa afferma la legge di Benford e come si calcola la frequenza attesa
Simon Newcomb notò nel 1881 che le prime pagine delle tavole di logaritmi erano più consumate delle ultime, e Frank Benford pubblicò in seguito la stessa legge della prima cifra con tavole empiriche più ampie. L'enunciato matematico è semplice: se un numero positivo ha la stessa verosimiglianza di trovarsi in qualsiasi punto di una scala logaritmica, la mantissa è distribuita in modo uniforme nello spazio log, e la probabilità che la cifra iniziale valga d è la larghezza dell'intervallo da d a d più uno su quella scala.
Quella larghezza è log10(1 + 1/d). Quando d vale 1 l'intervallo va da 1 a 2 e occupa circa il 30.103 per cento del decennio. Quando d vale 9 l'intervallo da 9 a 10 occupa solo circa il 4.576 per cento.
Quelle nove probabilità sommano a uno, controllo utile in aula. La legge è invariante di scala: moltiplicare ogni osservazione per una costante (cambiare valuta, unità o scala di rendicontazione) non modifica le quote previste della prima cifra, perché uno slittamento costante nello spazio log lascia la parte frazionaria del logaritmo ugualmente verosimile. Compare anche quando i dati coprono diversi ordini di grandezza e nascono da processi moltiplicativi: popolazioni, lunghezze di fiumi, indirizzi, costanti fisiche e molti libri contabili.
Non si applica a identificativi assegnati, misure strettamente limitate, estrazioni a sorte o serie uniformi su scala lineare. Valuta la frequenza attesa in forma chiusa per una cifra richiesta, così Lei può costruire tabelle, correggere compiti o confrontare una quota osservata con la barra teorica senza riderivare il logaritmo ogni volta.
Contratto di ingresso, campi della risposta ed errori di convalida
Indichi un solo intero da 1 a 9. Quei fallimenti non vengono addebitati. In caso di successo il corpo restituisce la cifra analizzata, percentage come cento volte log10(1 + 1/d), probability come la stessa grandezza sull'intervallo unitario, e formula come la stringa P(d) = log10(1 + 1/d).
I valori sono arrotondati a una precisione stabile di dodici cifre significative, così i controlli automatici confrontano byte per byte fra runtime. Controlli classici: la cifra 1 dà una percentuale vicina a 30.103 e una probabilità vicina a 0.30103; la cifra 2 dà circa il 17.609 per cento; la cifra 9 dà circa il 4.576 per cento.
Colleghi il modulo gratuito del browser per la didattica interattiva e poi chiami lo stesso contratto da script quando Le serve la tabella completa da 1 a 9 per un foglio di revisione o un correttore.
Chi usa le frequenze attese della prima cifra
I corsi di statistica e di contabilità forense chiedono di continuo di scrivere la formula della prima cifra e di citare a memoria le nove percentuali attese. I team di revisione interna e di qualità dei dati confrontano un istogramma osservato della cifra iniziale con queste barre teoriche come segnale di screening, non come verdetto di frode: una grande deviazione può significare cifre fabbricate, un intervallo troncato, una mescolanza di due processi, oppure semplicemente l'insieme sbagliato per la legge.
I ricercatori elettorali e sul finanziamento delle campagne, i giornalisti e gli analisti di dati aperti usano le stesse frequenze attese quando pubblicano grafici della prima cifra e hanno bisogno di una fonte documentata per la linea di confronto. Tenga le richieste piccole, fissi la percentuale arrotondata nei test e ottiene risposte riproducibili per i compiti, i plugin LMS e i worker al bordo, senza erigere una biblioteca statistica propria.
Se in seguito Le serve un adattamento del chi-quadro su un campione intero, lo tratti come un'intenzione di ricerca distinta invece di sovraccaricare questa pagina di frequenza attesa di una sola cifra.
Casi d'uso
Esercizi di Benford in aula
Gli allievi inviano una cifra da 1 a 9 e verificano la percentuale attesa rispetto al calcolo a mano di 100 volte log10(1 + 1/d).
Tabelle di screening di revisione e libri
Costruisca le nove barre teoriche della prima cifra per un grafico osservato contro atteso nel riesame di fatture, registrazioni o libri pubblici.
Domande frequenti
Qual è la formula della legge di Benford per una cifra iniziale?
P(d) = log10(1 + 1/d) per una cifra intera d da 1 a 9. Questo calcolatore restituisce quel valore in percentuale e come probabilità sull'intervallo unitario.
Perché la cifra 0 viene rifiutata?
Una cifra significativa iniziale non può valere 0.
Che cosa contiene la risposta?
La cifra ripetuta, percentage (cento volte la probabilità di Benford), probability su [0, 1] e la stringa formula P(d) = log10(1 + 1/d).
Verifica se i miei dati seguono la legge di Benford?
No. Restituisce solo la frequenza teorica attesa di una cifra. Confronti le proprie quote osservate con queste barre mediante una procedura di bontà di adattamento a parte.
Quanto costa il calcolatore della legge di Benford?
Lo strumento del browser è gratuito e gira in locale.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/stat/benfords-law \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"digit":1}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/stat/benfords-law", {
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"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
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req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
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res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
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}Esempio di risposta
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"type": "stat.benfords_law",
"status": "queued",
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}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
La stessa funzione pura alimenta lo strumento gratuito del browser e il percorso API prepagato, così i quaderni di revisione, le chiavi d'esame e gli script forensi non divergono dal classico trenta virgola uno per cento per gli uno iniziali. Le chiamate API riuscite sono tariffate alla base pubblicata $0.002; un ingresso non valido non viene addebitato.
Cosa afferma la legge di Benford e come si calcola la frequenza attesa
Questo endpoint non verifica un insieme di dati rispetto alla legge.
Contratto di ingresso, campi della risposta ed errori di convalida
Invii con POST un corpo JSON con un campo obbligatorio denominato digit, oppure usi gli alias brevi d o leading_digit. Sono accettati numeri JSON e stringhe di interi, così i moduli possono inviare un campo di testo senza conversione sul client. Se il campo manca, è vuoto, non è numerico, è una frazione come 1.5, vale zero, dieci, o esce da 1 a 9, il motore fallisce con invalid_input e un messaggio che digit deve essere un intero fra 1 e 9. Le nove barre teoriche sono costanti deterministiche, non stime di un campione, quindi due chiamanti con la stessa cifra ricevono sempre lo stesso JSON. Il prezzo delle chiamate API riuscite è la base pubblicata di $0.002 per voce; i fallimenti di convalida non consumano il saldo prepagato.
Dove un'API di frequenza attesa di Benford merita il proprio spazio
Un oracolo attendibile che restituisce JSON pulito accelera la correzione, la preparazione delle dimostrazioni e la progettazione di lezioni interattive, senza un logaritmo di foglio di calcolo che qualcuno ha digitato per errore come logaritmo naturale. Poiché questa capacità è un motore parse puro, ogni chiamata riuscita costa il prezzo base pubblicato $0.002 senza token di modello e senza rete in uscita, e una convalida fallita non consuma il saldo.
Casi di integrazione
Fixture di correzione e quaderni
Fissi frequenze attese deterministiche nei test unitari, nei correttori LMS e nei quaderni di ricerca che confrontano le quote osservate con la legge di Benford.