Lei de Benford

A lei de Benford descreve uma regularidade marcante em muitas coleções de números que surgem na natureza: o primeiro dígito significativo é 1 com bem mais frequência do que 9. A fatia esperada do dígito d é o logaritmo na base dez de um mais um sobre d, escrita P(d) = log10(1 + 1/d). Esta calculadora da lei de Benford aceita um único dígito inicial de 1 a 9 e devolve essa frequência esperada como porcentagem, junto com a probabilidade no intervalo unitário e a string da fórmula de livro. O dígito 0 não é um dígito inicial e é recusado, assim como frações e qualquer valor fora do intervalo fechado de 1 a 9.

O que a lei de Benford afirma e como a frequência esperada é calculada

Simon Newcomb notou em 1881 que as primeiras páginas das tábuas de logaritmos estavam mais gastas do que as últimas, e Frank Benford depois publicou a mesma lei do primeiro dígito com tábuas empíricas mais amplas. O enunciado matemático é simples: se um número positivo tem a mesma chance de cair em qualquer ponto de uma escala logarítmica, a mantissa se distribui de modo uniforme no espaço log, e a probabilidade de o dígito inicial ser d é a largura do intervalo de d até d mais um nessa escala.

Essa largura é log10(1 + 1/d). Quando d vale 1 o intervalo vai de 1 a 2 e ocupa cerca de 30.103 por cento da década. Quando d vale 9 o intervalo de 9 a 10 ocupa só cerca de 4.576 por cento.

Essas nove probabilidades somam um, uma checagem útil em sala. A lei é invariante de escala: multiplicar cada observação por uma constante (mudar moeda, unidades ou escala de relatório) não altera as fatias previstas do primeiro dígito, porque um deslocamento constante no espaço log deixa a parte fracionária do logaritmo igualmente provável. Também costuma aparecer quando os dados cobrem várias ordens de grandeza e nascem de processos multiplicativos: populações, comprimentos de rios, endereços, constantes físicas e muitos livros contábeis.

Não se aplica a identificadores atribuídos, medições bem limitadas, sorteios nem séries uniformes em escala linear. Ele avalia a frequência esperada em forma fechada para um dígito pedido, para você montar tabelas, corrigir lição de casa ou comparar uma fatia observada com a barra teórica sem rederivar o logaritmo a cada vez.

Quem usa as frequências esperadas do primeiro dígito

Cursos de estatística e de contabilidade forense pedem o tempo todo que os alunos escrevam a fórmula do primeiro dígito e recitem de memória as nove porcentagens esperadas. Equipes de auditoria interna e de qualidade de dados comparam um histograma observado do dígito inicial com essas barras teóricas como sinal de triagem, não como veredito de fraude: um desvio grande pode significar cifras fabricadas, um intervalo truncado, uma mistura de dois processos ou simplesmente o conjunto errado para a lei.

Pesquisadores eleitorais e de financiamento de campanha, jornalistas e analistas de dados abertos usam as mesmas frequências esperadas quando publicam gráficos do primeiro dígito e precisam de uma fonte documentada para a linha de comparação. Mantenha as requisições pequenas, fixe a porcentagem arredondada nos testes e você obtém respostas reproduzíveis para lição de casa, plugins LMS e workers na borda sem levantar uma biblioteca estatística própria.

Se mais adiante precisar de um ajuste qui-quadrado contra uma amostra completa, trate isso como outra intenção de busca em vez de sobrecarregar esta página de frequência esperada de um só dígito.