قانون بنفورد
وفق قانون بنفورد يبدأ نحو 30.103 بالمئة من الأعداد بالرقم 1، بينما لا يبدأ بالرقم 9 إلا نحو 4.576 بالمئة. اختر رقمًا أول لتحصل على حصته المتوقعة، وهي المرجع النظري لمقارنة إحصاءاتك به. مجانية في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- الرقم
- 1
- النسبة المئوية
- 30.1029995664
- الاحتمال
- 0.3010299957
يصف قانون بنفورد انتظامًا لافتًا في كثير من مجموعات الأعداد التي تظهر في الطبيعة: الرقم المعنوي الأول يكون 1 أكثر بكثير مما يكون 9. الحصة المتوقعة للرقم d هي لوغاريتم الأساس عشرة لواحد زائد واحد على d، وتُكتب P(d) = log10(1 + 1/d). تقبل حاسبة قانون بنفورد هذه رقمًا بادئًا واحدًا من 1 إلى 9 وتُرجع ذلك التكرار المتوقع كنسبة مئوية، مع الاحتمال على الفترة الوحدوية وسلسلة صيغة الكتاب. الرقم 0 ليس رقمًا بادئًا فيُرفض، وكذلك الكسور وأي قيمة خارج الفترة المغلقة من 1 إلى 9.
ماذا يقول قانون بنفورد وكيف يُحسب التكرار المتوقع
لاحظ Simon Newcomb سنة 1881 أن الصفحات الأولى من جداول اللوغاريتمات كانت أكثر اهتراءً من الصفحات الأخيرة، ثم نشر Frank Benford القانون نفسه للرقم الأول بجداول تجريبية أوسع. البيان الرياضي بسيط: إذا كان عدد موجب متساوي الرجحان في أي موضع على مقياس لوغاريتمي، فإن الجزء المعنوي يتوزع بانتظام في فضاء اللوغاريتم، واحتمال أن يساوي الرقم البادئ d هو عرض الفترة من d إلى d زائد واحد على ذلك المقياس. ذلك العرض هو log10(1 + 1/d).
عندما يساوي d الواحد تمتد الفترة من 1 إلى 2 وتشغل نحو 30.103 في المئة من العقد. عندما يساوي d التسعة تشغل الفترة من 9 إلى 10 نحو 4.576 في المئة فقط. وتجمع تلك الاحتمالات التسعة إلى واحد، وهو فحص مفيد في القاعة.
القانون ثابت المقياس: ضرب كل مشاهدة في ثابت (تغيير العملة أو الوحدات أو مقياس التقرير) لا يغيّر الحصص المتوقعة للرقم الأول، لأن إزاحة ثابتة في فضاء اللوغاريتم تُبقي الجزء الكسري من اللوغاريتم متساوي الرجحان. ويظهر أيضًا عندما تغطي البيانات عدة رتب أسية وتنشأ من عمليات ضربية: السكان وأطوال الأنهار والعناوين والثوابت الفيزيائية وكثير من دفاتر المحاسبة. ولا ينطبق على المعرّفات المعيَّنة والقياسات الضيقة والسحوبات ولا على السلاسل المنتظمة على مقياس خطي.
لا يختبر هذا الطرف مجموعة بيانات مقابل القانون. إنه يقيّم التكرار المتوقع بصيغة مغلقة لرقم مطلوب، حتى تبنوا الجداول وتصححوا الواجبات أو تقارنوا حصة مرصودة بالشريط النظري دون إعادة اشتقاق اللوغاريتم في كل مرة.
عقد الإدخال وحقول الاستجابة وأخطاء التحقق
قدّموا عددًا صحيحًا واحدًا من 1 إلى 9. تلك الإخفاقات لا تُحاسب. عند النجاح يُرجع الجسم الرقم المحلَّل، وpercentage بمائة ضعف log10(1 + 1/d)، وprobability بوصفها المقدار ذاته على الفترة الوحدوية، وformula كسلسلة P(d) = log10(1 + 1/d).
تُقرَّب القيم إلى دقة مستقرة من اثنتي عشرة خانة معنوية حتى تتطابق الفحوص الآلية بايتًا ببايت عبر بيئات التشغيل. فحوص كلاسيكية: الرقم 1 يعطي نسبة قرب 30.103 واحتمالًا قرب 0.30103؛ والرقم 2 نحو 17.609 في المئة؛ والرقم 9 نحو 4.576 في المئة. صلوا النموذج المجاني في المتصفح للتعليم التفاعلي، ثم استدعوا العقد ذاته من سكربتات عندما تحتاجون الجدول الكامل من 1 إلى 9 لدفتر مراجعة أو مصحح.
أين تبرر واجهة تكرار بنفورد المتوقع وجودها
تطلب مقررات الإحصاء والمحاسبة الجنائية باستمرار كتابة صيغة الرقم الأول واستظهار النسب المئوية المتوقعة التسع. تقارن فرق المراجعة الداخلية وجودة البيانات مدرجًا مرصودًا للرقم البادئ بهذه الأشرطة النظرية بوصفه إشارة فرز لا حكم احتيال: فقد يعني الانحراف الكبير أرقامًا مختلقة أو نطاقًا مبتورًا أو مزيج عمليتين أو ببساطة المجموعة غير المناسبة للقانون. يستخدم باحثو الانتخابات وتمويل الحملات والصحفيون ومحللو البيانات المفتوحة التكرارات المتوقعة ذاتها عندما ينشرون رسوم الرقم الأول ويحتاجون مصدرًا موثّقًا لخط المقارنة.
اجعلوا الطلبات صغيرة وثبّتوا النسبة المقربة في الاختبارات، فتحصلون على إجابات قابلة للتكرار للواجبات وإضافات LMS والعاملين عند الحافة دون إقامة مكتبة إحصائية خاصة. إن احتجتم لاحقًا إلى حسن مطابقة مربع كاي على عينة كاملة، عاملوها كنية بحث منفصلة بدل إثقال صفحة التكرار المتوقع لرقم واحد.
حالات الاستخدام
تمارين بنفورد في القاعة
يرسل الدارسون رقمًا من 1 إلى 9 ويتحققون من النسبة المتوقعة أمام الحساب اليدوي لمائة ضعف log10(1 + 1/d).
جداول فرز المراجعة والدفاتر
ابنوا الأشرطة النظرية التسعة للرقم الأول لرسم مرصود مقابل متوقع عند مراجعة الفواتير أو القيود أو الدفاتر العامة.
تجهيزات التصحيح والدفاتر
ثبّتوا تكرارات متوقعة حتمية في اختبارات الوحدة ومصححات LMS ودفاتر البحث التي تقارن الحصص المرصودة بقانون بنفورد.
الأسئلة الشائعة
ما صيغة قانون بنفورد لرقم بادئ؟
P(d) = log10(1 + 1/d) لرقم صحيح d من 1 إلى 9. تُرجع هذه الحاسبة تلك القيمة كنسبة مئوية وكاحتمال على الفترة الوحدوية.
لماذا يُرفض الرقم 0؟
لا يمكن أن يكون الرقم المعنوي البادئ 0.
ماذا تحتوي الاستجابة؟
الرقم المُعاد، وpercentage (مائة ضعف احتمال بنفورد)، وprobability على [0, 1]، وسلسلة formula وهي P(d) = log10(1 + 1/d).
هل يختبر هذا إن كانت بياناتي تتبع قانون بنفورد؟
لا. يُرجع فقط التكرار النظري المتوقع لرقم واحد. قارنوا حصصكم المرصودة بهذه الأشرطة بإجراء حسن مطابقة منفصل.
هل ينطبق قانون بنفورد على كل أنواع البيانات؟
لا. يظهر غالبًا في البيانات التي تمتد عبر عدة مراتب عددية وتنمو بالضرب، مثل أعداد السكان وأطوال الأنهار. ولا ينطبق على الأرقام التعريفية المخصصة أو القياسات المحصورة في نطاق ضيق أو سحوبات اليانصيب.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/stat/benfords-law \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"digit":1}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/stat/benfords-law", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"digit": 1
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/stat/benfords-law",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"digit": 1
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/stat/benfords-law", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"digit":1}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"digit":1}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/stat/benfords-law", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"digit": 1
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "stat.benfords_law",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
تشغّل الدالة النقية ذاتها الأداة المجانية في المتصفح ومسار API المدفوع مسبقًا، فلا تختلف دفاتر المراجعة ومفاتيح الامتحان والسكربتات الجنائية عن الرقم الكلاسيكي ثلاثين فاصلة واحد في المئة للواحدات البادئة. تُسعَّر طلبات API الناجحة بالقاعدة المنشورة $0.002؛ والمدخل غير الصالح لا يُحاسب.
عقد الإدخال وحقول الاستجابة وأخطاء التحقق
أرسلوا جسم JSON بطريقة POST بحقل إلزامي اسمه digit، أو استخدموا الاسمين القصيرين d أو leading_digit. تُقبل أعداد JSON وسلاسل الأعداد الصحيحة حتى ترسل النماذج حقل نص بلا تحويل في العميل. إذا غاب الحقل أو فرغ أو لم يكن رقميًا أو كان كسرًا مثل 1.5 أو صفرًا أو عشرة أو خارج 1 إلى 9، يفشل المحرك بـinvalid_input وبرسالة بأن digit يجب أن يكون عددًا صحيحًا بين 1 و9. الأشرطة النظرية التسعة ثوابت حتمية لا تقديرات من عينة، لذا يتلقى مستدعيان بالرقم نفسه دائمًا الـJSON ذاته. سعر طلبات API الناجحة هو القاعدة المنشورة $0.002 لكل عنصر؛ وإخفاقات التحقق لا تستهلك الرصيد المدفوع مسبقًا.
أين تبرر واجهة تكرار بنفورد المتوقع وجودها
ووحي موثوق يعيد JSON منقّحًا يسرّع التصحيح وإعداد العروض وتصميم الدروس التفاعلية، دون لوغاريتم جدول حسبه أحد بالخطأ لوغاريتمًا طبيعيًا. مؤلفو المناهج الذين يبنون أدوات متصفح يريدون شكل JSON ذاته مجانًا في الصفحة ومدفوعًا عبر API حتى تتوافق الأوراق دون اتصال والمصححات عبر الشبكة. ولأن هذه القدرة محرك parse خالص، تكلف كل دعوة ناجحة السعر الأساسي المنشور $0.002 بلا رموز نموذج وبلا شبكة صادرة، والتحقق الفاشل لا يستهلك الرصيد.
أسئلة تقنية
كم تكلفة حاسبة قانون بنفورد؟
أداة المتصفح مجانية وتعمل محليًا. طلبات API تستخدم رصيد KIT المدفوع مسبقًا بسعر $0.002 لكل عنصر ناجح؛ والمدخل غير الصالح لا يُحاسب.