Benfordsches Gesetz

Das Benfordsche Gesetz beschreibt eine auffällige Regelmäßigkeit in vielen natürlich auftretenden Zahlensammlungen: die erste signifikante Ziffer ist weit häufiger 1 als 9. Der erwartete Anteil der Ziffer d ist der Zehnerlogarithmus von eins plus eins durch d, geschrieben P(d) = log10(1 + 1/d). Dieser Rechner zum Benfordschen Gesetz nimmt eine einzelne führende Ziffer von 1 bis 9 entgegen und liefert jene erwartete Häufigkeit als Prozentwert, zusammen mit der Wahrscheinlichkeit auf dem Einheitsintervall und der Lehrbuch-Formelzeichenkette. Die Ziffer 0 ist keine führende Ziffer und wird zurückgewiesen, ebenso Brüche und jeder Wert außerhalb des abgeschlossenen Bereichs von 1 bis 9.

Was das Benfordsche Gesetz besagt und wie die erwartete Häufigkeit berechnet wird

Simon Newcomb bemerkte 1881, dass die vorderen Seiten von Logarithmentafeln stärker abgenutzt waren als die hinteren, und Frank Benford veröffentlichte später dasselbe Erstzifferngesetz mit breiteren empirischen Tafeln. Die mathematische Aussage ist schlicht: liegt eine positive Zahl mit gleicher Wahrscheinlichkeit irgendwo auf einer logarithmischen Skala, ist die Mantisse im Log-Raum gleichverteilt, und die Wahrscheinlichkeit, dass die führende Ziffer d beträgt, ist die Breite des Intervalls von d bis d plus eins auf jener Skala. Diese Breite ist log10(1 + 1/d).

Für d gleich 1 läuft das Intervall von 1 bis 2 und nimmt etwa 30.103 Prozent der Dekade ein. Für d gleich 9 nimmt das Intervall von 9 bis 10 nur etwa 4.576 Prozent ein. Jene neun Wahrscheinlichkeiten summieren sich zu eins, eine nützliche Klassenkontrolle.

Das Gesetz ist skaleninvariant: jede Beobachtung mit einer Konstanten zu multiplizieren (Währung, Einheiten oder Berichtsskala ändern) ändert die vorhergesagten Erstziffernanteile nicht, weil eine konstante Verschiebung im Log-Raum den gebrochenen Teil des Logarithmus gleich wahrscheinlich lässt. Es tritt außerdem auf, wenn Daten mehrere Größenordnungen überspannen und aus multiplikativen Prozessen stammen: Bevölkerungen, Flusslängen, Straßenadressen, physikalische Konstanten und viele Hauptbücher. Es gilt nicht für vergebene Kennungen, eng begrenzte Messungen, Lotterieziehungen oder Reihen, die auf linearer Skala gleichverteilt sind.

Dieser Endpunkt prüft keinen Datensatz gegen das Gesetz. Er wertet die erwartete Häufigkeit in geschlossener Form für eine angeforderte Ziffer aus, damit Sie Tabellen bauen, Hausaufgaben bewerten oder einen beobachteten Anteil mit dem theoretischen Balken vergleichen können, ohne den Logarithmus jedes Mal neu abzuleiten.

Wer die erwarteten Anfangsziffern nutzt

Statistik- und forensische Buchhaltungskurse verlangen ständig, die Erstziffernformel aufzuschreiben und die neun erwarteten Prozentsätze aus dem Gedächtnis zu nennen. Interne Revision und Datenqualitätsteams vergleichen ein beobachtetes Histogramm der führenden Ziffer mit diesen theoretischen Balken als Screening-Signal, nicht als Betrugsurteil: eine große Abweichung kann erfundene Zahlen, einen gekürzten Bereich, eine Mischung zweier Prozesse oder einfach den falschen Datensatz für das Gesetz bedeuten. Wahl- und Kampagnenfinanzierungsforscher, Journalisten und Open-Data-Analytiker nutzen dieselben erwarteten Häufigkeiten, wenn sie Erstzifferndiagramme veröffentlichen und eine belegte Quelle für die Vergleichslinie brauchen.

Halten Sie Anfragen klein, pinnen Sie den gerundeten Prozentwert in Tests, und Sie erhalten reproduzierbare Antworten für Hausaufgaben, LMS-Erweiterungen und Edge-Worker, ohne eine eigene Statistikbibliothek aufzustellen. Wenn Sie später eine Chi-Quadrat-Anpassungsgüte gegen eine volle Stichprobe brauchen, behandeln Sie das als eigene Suchabsicht, statt diese Seite zur erwarteten Häufigkeit einer einzelnen Ziffer zu überladen.