Integración completando el cuadrado
La integral de 1 entre x² + 2x + 5 es 0,5 por la arcotangente de (2x + 2)/4, más C. Escriba los tres coeficientes del polinomio y vea cada paso: el cuadrado completado, el desplazamiento, el resto y la antiderivada final. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- A
- 1
- B
- 2
- C
- 5
- Discriminante
- -16
- H
- -1
- K
- 4
- Cuadrado completado
- ((x + 1)^2 + 4)
Reescribe el denominador como un cuadrado completado a((x−h)²+k), aplica la identidad estándar de la arcotangente y devuelve el resultado completo: el discriminante, el desplazamiento del vértice h, el resto k, el factor de escala s y la antiderivada final (2/s)·arctan((2ax+b)/s) + C como una expresión legible.
Por qué completar el cuadrado convierte esta integral en una arcotangente
La integral de dx/(x²+1) es arctan(x), uno de los primeros resultados de cualquier curso de cálculo. Completar el cuadrado es el paso algebraico que reduce toda una familia de integrales a ese único caso conocido. Cualquier cuadrático ax²+bx+c con coeficiente principal no nulo puede reescribirse como a((x−h)²+k), donde h = −b/(2a) es el desplazamiento horizontal y k = c − b²/(4a) es lo que queda tras el desplazamiento.
Cuando el discriminante b²−4ac es negativo, k es estrictamente positivo en relación con a, de modo que el denominador es una constante multiplicada por una suma de cuadrados, (x−h)²+k. Al factorizar k de esa suma se obtiene la forma 1 + ((x−h)/√k)², y la sustitución u = (x−h)/√k convierte la integral directamente en un múltiplo de ∫du/(u²+1). El resultado es una arcotangente cuyo argumento es lineal en x y cuya constante principal absorbe cada factor de escala introducido en el camino.
Qué recibe y cómo interpretarlo
Usted envía los tres coeficientes a, b y c del denominador cuadrático, más una precisión opcional entre 0 y 15 decimales. La respuesta comienza repitiendo los coeficientes e informando del discriminante d = b²−4ac, que debe ser negativo para que exista la forma de arcotangente. Cada campo numérico se redondea a la precisión solicitada, y los mismos valores redondeados son los que se usan dentro de las cadenas de expresión, de modo que la forma de texto y los campos numéricos nunca se contradicen.
Si deriva simbólicamente la antiderivada devuelta, recupera 1/(ax²+bx+c) exactamente; la derivación está documentada en el código fuente y en el campo formula de cada respuesta, que enuncia las identidades utilizadas para que un evaluador o un colega pueda auditar el método sin leer ningún código.
Qué puede hacer con ella
Revisar tareas de cálculo paso a paso
Compare su cuadrado completado, factor de escala y expresión final de arcotangente con cada campo intermedio, no solo con una respuesta final.
Dirigir integrales en una canalización CAS
Use la comprobación del discriminante para enviar integrales de 1/cuadrático a la rama de arcotangente o a la rama logarítmica automáticamente, con los errores como señal de enrutamiento.
Generar antiderivadas para modelos físicos con funciones racionales
Los sistemas amortiguados y forzados suelen producir términos 1/(ax²+bx+c); obtenga una antiderivada en forma cerrada con precisión controlada para su evaluación posterior.
Preguntas frecuentes
¿Cuánto cuesta?
También es gratis ejecutarlo en su navegador en esta página.
¿Qué integrales maneja?
Exactamente ∫ dx/(ax²+bx+c) donde el discriminante b²−4ac es negativo. Esa es la familia cuya antiderivada es una constante multiplicada por la arcotangente de una expresión lineal.
¿Qué ocurre cuando el discriminante es cero o positivo?
Esos casos se integran en logaritmos o funciones racionales mediante fracciones parciales, y devolver una arcotangente sería incorrecto.
¿Qué significan h y k en la respuesta?
Son los parámetros del cuadrado completado: ax²+bx+c = a((x−h)²+k), con h = −b/(2a) y k = c − b²/(4a).
¿Cómo verifico el resultado?
Derive (2/s)·arctan((2ax+b)/s) con s = √(4ac−b²); la regla de la cadena da 4a/(s²+(2ax+b)²), que se simplifica de nuevo a 1/(ax²+bx+c). El campo formula de cada respuesta enuncia estas identidades.
¿Qué formatos de entrada se aceptan para los coeficientes?
Números o cadenas decimales, con notación científica opcional, hasta una magnitud de 1e15. La opción precision, de 0 a 15 decimales, controla el redondeo de cada campo numérico de la respuesta.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/integration-by-completing-the-square \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":2,"c":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/integration-by-completing-the-square", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": 2,
"c": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/integration-by-completing-the-square",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": 2,
"c": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/integration-by-completing-the-square", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":2,"c":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":2,"c":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/integration-by-completing-the-square", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"a": 1,
"b": 2,
"c": 5
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.integration_by_completing_the_square",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Límites
max_abs_coeff | 1000000000000000 |
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
La API de integración por completar el cuadrado halla la antiderivada de uno sobre un polinomio cuadrático, 1/(ax²+bx+c), cuando el cuadrático no tiene raíces reales. Cuando el discriminante es cero o positivo, la forma de arcotangente no aplica, y la API lo indica en lugar de adivinar, porque ese caso corresponde a la forma logarítmica con fracciones parciales.
Por qué completar el cuadrado convierte esta integral en una arcotangente
El endpoint de integración por completar el cuadrado ejecuta exactamente esta secuencia y expone cada cantidad intermedia, de modo que usted puede comprobar el álgebra paso a paso en lugar de confiar en una caja negra que solo devuelve una fórmula final.
Qué devuelve la API y cómo leerlo
Después proporciona h y k del cuadrado completado a((x−h)²+k), representado como una cadena legible en el campo completed_square. A continuación aparecen la escala s = √(4ac−b²) y el coeficiente 2/s, y finalmente el arctan_argument y la cadena completa de la antiderivada, (2/s)·arctan((2ax+b)/s) + C.
Cuando la respuesta es un error, y por qué eso es correcto
Un discriminante negativo no es un tecnicismo; es la línea divisoria entre dos familias distintas de antiderivadas. Cuando b²−4ac es positivo, el cuadrático tiene dos raíces reales distintas, el denominador se factoriza sobre los reales y la integral se descompone por fracciones parciales en una suma de logaritmos. Cuando el discriminante es cero, el cuadrático es un cuadrado perfecto y la integral es una función racional, de nuevo sin ninguna arcotangente. Devolver una expresión de arcotangente en cualquiera de los dos casos sería silenciosamente incorrecto, por lo que la API rechaza ambos con un claro error invalid_input que indica el valor del discriminante y explica qué forma aplica en realidad. El mismo rigor cubre a = 0, que convierte el denominador en lineal y la integral en un logaritmo simple. Este comportamiento de fallo cerrado importa en las canalizaciones automatizadas: una cadena de resolución que alimenta coeficientes a este endpoint recibe una señal explícita y analizable para dirigir el problema a la rama logarítmica, en lugar de una fórmula plausible pero incorrecta propagándose aguas abajo.