Integração completando o quadrado
A integral de 1 sobre x² + 2x + 5 é 0,5 vezes o arco tangente de (2x + 2)/4, mais C. Digite os três coeficientes da quadrática e veja cada etapa: o quadrado completado, o deslocamento, o resto e a antiderivada final. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- A
- 1
- B
- 2
- C
- 5
- Discriminante
- -16
- H
- -1
- K
- 4
- Quadrado completado
- ((x + 1)^2 + 4)
Ela reescreve o denominador como um quadrado completado a((x−h)²+k), aplica a identidade padrão do arco tangente e retorna o resultado completo: o discriminante, o deslocamento do vértice h, o resto k, o fator de escala s e a antiderivada final (2/s)·arctan((2ax+b)/s) + C como uma expressão legível.
Por que completar o quadrado transforma esta integral em arco tangente
A integral de dx/(x²+1) é arctan(x), um dos primeiros resultados de qualquer curso de cálculo. Completar o quadrado é o passo algébrico que reduz toda uma família de integrais a esse único caso conhecido. Qualquer quadrático ax²+bx+c com coeficiente líder não nulo pode ser reescrito como a((x−h)²+k), onde h = −b/(2a) é o deslocamento horizontal e k = c − b²/(4a) é o que resta após o deslocamento.
Quando o discriminante b²−4ac é negativo, k é estritamente positivo em relação a a, de modo que o denominador é uma constante multiplicada por uma soma de quadrados, (x−h)²+k. Ao fatorar k dessa soma, obtém-se a forma 1 + ((x−h)/√k)², e a substituição u = (x−h)/√k converte a integral diretamente em um múltiplo de ∫du/(u²+1). O resultado é um arco tangente cujo argumento é linear em x e cuja constante líder absorve cada fator de escala introduzido no caminho.
O que você recebe e como ler
Você envia os três coeficientes a, b e c do denominador quadrático, mais uma precisão opcional entre 0 e 15 casas decimais. A resposta começa ecoando os coeficientes e relatando o discriminante d = b²−4ac, que deve ser negativo para que a forma de arco tangente exista. Cada campo numérico é arredondado para a precisão solicitada, e os mesmos valores arredondados são os usados dentro das strings de expressão, de modo que a forma textual e os campos numéricos nunca divergem.
Se você derivar simbolicamente a antiderivada retornada, recupera 1/(ax²+bx+c) exatamente; a derivação está documentada no código-fonte e no campo formula de cada resposta, que declara as identidades usadas para que um avaliador ou colega possa auditar o método sem ler nenhum código.
Casos de uso
Conferir lição de cálculo passo a passo
Compare seu quadrado completado, fator de escala e expressão final de arco tangente com cada campo intermediário, não apenas com uma resposta final.
Encaminhar integrais em um pipeline de CAS
Use a verificação do discriminante para enviar integrais de 1/quadrático ao ramo do arco tangente ou ao ramo logarítmico automaticamente, com os erros como sinal de roteamento.
Gerar antiderivadas para modelos de física com funções racionais
Sistemas amortecidos e forçados costumam produzir termos 1/(ax²+bx+c); obtenha uma antiderivada em forma fechada com precisão controlada para avaliação posterior.
Perguntas frequentes
Quanto custa?
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Quais integrais ele resolve?
Exatamente ∫ dx/(ax²+bx+c) onde o discriminante b²−4ac é negativo. Essa é a família cuja antiderivada é uma constante vezes o arco tangente de uma expressão linear.
O que significam h e k na resposta?
São os parâmetros do quadrado completado: ax²+bx+c = a((x−h)²+k), com h = −b/(2a) e k = c − b²/(4a).
Como verifico o resultado?
Derive (2/s)·arctan((2ax+b)/s) com s = √(4ac−b²); a regra da cadeia dá 4a/(s²+(2ax+b)²), que simplifica de volta para 1/(ax²+bx+c). O campo formula de cada resposta declara essas identidades.
Quais formatos de entrada são aceitos para os coeficientes?
Números ou strings decimais, com notação científica opcional, até uma magnitude de 1e15. A opção precision, de 0 a 15 casas decimais, controla o arredondamento de cada campo numérico da resposta.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/integration-by-completing-the-square \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":2,"c":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/integration-by-completing-the-square", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": 2,
"c": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/integration-by-completing-the-square",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": 2,
"c": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/integration-by-completing-the-square", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":2,"c":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":2,"c":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/integration-by-completing-the-square", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"a": 1,
"b": 2,
"c": 5
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.integration_by_completing_the_square",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
max_abs_coeff | 1000000000000000 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
A API de integração por completar o quadrado encontra a antiderivada de um sobre um polinônio quadrático, 1/(ax²+bx+c), quando o quadrático não tem raízes reais. Quando o discriminante é zero ou positivo, a forma de arco tangente não se aplica, e a API informa isso em vez de adivinhar, porque esse caso pertence à forma logarítmica com frações parciais.
Por que completar o quadrado transforma esta integral em arco tangente
O endpoint de integração por completar o quadrado executa exatamente essa sequência e expõe cada quantidade intermediária, para que você possa conferir a álgebra passo a passo em vez de confiar em uma caixa-preta que retorna apenas uma fórmula final.
O que a API retorna e como interpretar
Em seguida, fornece h e k do quadrado completado a((x−h)²+k), apresentado como uma string legível no campo completed_square. Depois vêm a escala s = √(4ac−b²) e o coeficiente 2/s, e finalmente o arctan_argument e a string completa da antiderivada, (2/s)·arctan((2ax+b)/s) + C.
Quando a resposta é um erro, e por que isso é correto
Um discriminante negativo não é um detalhe técnico; é a linha divisória entre duas famílias diferentes de antiderivadas. Quando b²−4ac é positivo, o quadrático tem duas raízes reais distintas, o denominador fatora sobre os reais e a integral se divide por frações parciais em uma soma de logaritmos. Quando o discriminante é zero, o quadrático é um quadrado perfeito e a integral é uma função racional, novamente sem nenhum arco tangente envolvido. Retornar uma expressão de arco tangente em qualquer um dos casos seria silenciosamente errado, por isso a API rejeita ambos com um erro invalid_input claro que informa o valor do discriminante e explica qual forma realmente se aplica. O mesmo rigor cobre a = 0, que torna o denominador linear e a integral um logaritmo simples. Esse comportamento de falha fechada importa em pipelines automatizados: uma cadeia de solucionadores que alimenta coeficientes neste endpoint recebe um sinal explícito e analisável para encaminhar o problema ao ramo logarítmico, em vez de uma fórmula plausível mas incorreta se propagando adiante.
Perguntas técnicas
O que acontece quando o discriminante é zero ou positivo?
A requisição falha com um erro invalid_input que informa o valor do discriminante. Esses casos integram em logaritmos ou funções racionais por frações parciais, e retornar um arco tangente seria errado.