Completar o quadrado
Passe ax² + bx + c para a forma de vértice e leia a parábola num relance: 2x² − 8x + 5 fica 2(x − 2)² − 3, com o vértice em (2, −3). As duas formas dão o mesmo valor para qualquer x. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- A
- 2
- B
- -8
- C
- 5
- H
- 2
- K
- -3
- Forma
- 2(x - (2))^2 + (-3)
Ela retorna os dois parâmetros que definem a transformação, h e k, junto com o vértice da parábola. Toda a reescrita é uma única passada determinística de aritmética: h = −b/(2a) e k = c − b²/(4a). Não há resolução, tentativa nem aproximação além da precisão de arredondamento que você pedir, então os mesmos coeficientes sempre produzem a mesma forma do vértice. Use-a para ler o vértice de uma parábola diretamente, para preparar uma equação para resolução ou para normalizar termos quadráticos em um pipeline maior — uma chamada em vez de fazer a álgebra à mão.
O que completar o quadrado realmente significa
Uma quadrática escrita como ax² + bx + c revela sua forma apenas indiretamente. A mesma expressão reescrita como a(x − h)² + k mostra as duas coisas que a maioria das pessoas realmente quer: onde está o vértice da parábola, no ponto (h, k), e se ela abre para cima ou para baixo, pelo sinal de a.
A técnica por trás da reescrita — completar o quadrado — pega os termos em x² e x e soma e subtrai exatamente a constante necessária para transformá-los em um trinômio quadrado perfeito, que então colapsa no binômio ao quadrado. Nada na expressão muda: substitua qualquer valor de x em qualquer uma das formas e você obtém o mesmo número. O que muda é o que você consegue ler de relance.
O coeficiente a passa intacto, então o coeficiente líder que você envia é o mesmo que multiplica o termo ao quadrado na resposta.
Como h e k são calculados
Os dois parâmetros vêm de duas identidades em forma fechada. O deslocamento horizontal é h = −b/(2a), que é exatamente a coordenada x do eixo de simetria da parábola. O deslocamento vertical é k = c − b²/(4a), o valor que a quadrática assume nesse eixo — equivalentemente, o que você obtém ao avaliar a expressão original em x = h.
Por serem fórmulas exatas, e não um procedimento iterativo, o resultado é determinístico: execute duas vezes com os mesmos coeficientes e você recebe uma saída byte a byte idêntica, o que torna a resposta segura para cachear, comparar e embutir em testes. O arredondamento é o único ponto onde há escolha. Por padrão, h e k são arredondados para dez casas decimais para que a saída seja estável entre máquinas e linguagens; você pode pedir de zero a quinze casas com o campo opcional de precisão.
Os coeficientes podem ser enviados como números ou como strings numéricas, e cada coeficiente deve ser finito — Infinity e NaN são rejeitados com um erro claro em vez de produzir silenciosamente um resultado sem sentido.
Onde isso se encaixa na prática
Completar o quadrado raramente é o objetivo final; é o passo que destrava o próximo. É o caminho padrão para a fórmula quadrática, a forma mais rápida de encontrar um vértice sem cálculo e a manobra que transforma a equação de um círculo ou de uma elipse em sua forma centro-raio. Em um produto educacional, permite mostrar a forma do vértice ao lado da forma padrão para que os alunos vejam a conexão.
Em um pipeline de gráficos ou física, converte uma quadrática ajustada diretamente em posição e valor de pico: ajuste ax² + bx + c às suas amostras, envie os três coeficientes e leia o máximo ou mínimo em k. Em um serviço de otimização, normaliza termos quadráticos de penalidade antes de entregá-los a um solver.
Casos de uso
Encontre o vértice de uma parábola sem cálculo
Envie a, b e c e leia o vértice (h, k) diretamente na forma do vértice — sem derivada, sem etapa de gráfico.
Prepare uma equação para resolução
Converta ax²+bx+c para a(x−h)²+k para que as raízes surjam como x = h ± √(−k/a), o mesmo caminho que deriva a fórmula quadrática.
Extraia um pico ajustado em um pipeline de dados
Ajuste uma quadrática a medições amostradas e envie os coeficientes aqui para obter a posição do pico h e o valor do pico k como números limpos.
Perguntas frequentes
Quanto custa?
Também é grátis para rodar no seu navegador nesta página.
O que ela retorna exatamente?
O coeficiente a inalterado, os parâmetros do vértice h e k, a forma reescrita como a string a(x−h)²+k e o vértice como um ponto (x, y).
Posso enviar os coeficientes como strings?
Sim. Números e strings numéricas são aceitos, mas cada coeficiente deve ser um número finito; Infinity e NaN são rejeitados.
Como os resultados são arredondados?
h e k são arredondados para dez casas decimais por padrão; você pode definir a precisão de 0 a 15. Inteiros exatos são retornados como inteiros em qualquer precisão.
Algo é armazenado?
Não. O cálculo é aritmética pura sobre os três coeficientes que você envia; nada é registrado nem guardado.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/completing-the-square \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":2,"b":-8,"c":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/completing-the-square", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 2,
"b": -8,
"c": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/completing-the-square",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 2,
"b": -8,
"c": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/completing-the-square", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":2,"b":-8,"c":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":2,"b":-8,"c":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/completing-the-square", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"a": 2,
"b": -8,
"c": 5
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.completing_the_square",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
max_abs_coeff | 1000000000000000 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
A API de completar o quadrado recebe os três coeficientes de uma expressão quadrática — a, b e c em ax² + bx + c — e a reescreve na forma de quadrado completo, também chamada de forma do vértice: a(x − h)² + k.
O que completar o quadrado realmente significa
O endpoint faz o rearranjo simbolicamente sobre os três coeficientes numéricos, o que significa que funciona igualmente para valores inteiros, decimais e negativos, e recusa o único caso degenerado — a igual a zero — em que a expressão é na verdade uma reta e a forma de quadrado completo não tem significado.
Como h e k são calculados
Valores que são inteiros exatos permanecem inteiros independentemente da precisão, então 2x² − 8x + 5 retorna h = 2 e k = −3, e não 2.0000000000.
Onde isso se encaixa na prática
A capacidade roda como aritmética pura na nossa edge sem armazenar nada, e o mesmo código roda de graça no seu navegador nesta página — cole os três coeficientes, veja a forma do vértice e pague apenas quando integrá-la a um fluxo automatizado a US$ 0,002 por requisição.
Perguntas técnicas
Por que ela rejeita a = 0?
Porque com coeficiente líder zero a expressão é linear, não quadrática, e a forma de quadrado completo é indefinida — dividir por 2a não faria sentido.