ForHosting KIT · الرياضيات

التكامل بإتمام المربع

تكامل 1 على x² + 2x + 5 يساوي 0.5 مضروبًا في قوس ظل (2x + 2)/4 زائد ثابت. أدخل المعاملات الثلاثة للدالة التربيعية لترى كل خطوة: المربع المكتمل والإزاحة والباقي والدالة الأصلية النهائية. مجاني في متصفحك.

مجاني
يعمل في متصفحك
دون تسجيل
بياناتك لا تغادر جهازك

شغّل الأداة مجانًا اطّلع على الـAPI

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

مثال محلول

إذا أدخلت

A: 1
B: 2
C: 5

تحصل على

المميِّز: ‎-16
H: ‎-1
K: 4
المربع المكتمل: ((x + 1)^2 + 4)

وعندما يكون المميِّز صفرًا أو موجبًا، لا تنطبق صيغة قوس الظل، وتُعلن الواجهة ذلك بدلًا من التخمين، لأن تلك الحالة تعود إلى الصيغة اللوغاريتمية مع الكسور الجزئية.

لماذا يحوّل إتمام المربع هذا التكامل إلى قوس ظل

تكامل dx/(x²+1) هو arctan(x)، وهو من أول النتائج في أي مقرر في حساب التفاضل والتكامل. وإتمام المربع هو الخطوة الجبرية التي تُرجع أسرة كاملة من التكاملات إلى تلك الحالة المعروفة الوحيدة. يمكن إعادة كتابة أي معادلة تربيعية ax²+bx+c ذات معامل رئيس غير صفري على الصورة a((x−h)²+k)، حيث h = −b/(2a) هو الإزاحة الأفقية وk = c − b²/(4a) هو ما يتبقى بعد الإزاحة.

وعندما يكون المميِّز b²−4ac سالبًا، يكون k موجبًا قطعًا بالنسبة إلى a، فيكون المقام ثابتًا مضروبًا في مجموع مربعين، (x−h)²+k. وبإخراج k من ذلك المجموع نحصل على الصورة 1 + ((x−h)/√k)²، ويحوّل التعويض u = (x−h)/√k التكامل مباشرة إلى مضاعف للتكامل ∫du/(u²+1). والنتيجة قوس ظل وسيطه خطي في x، وثابتُه الرئيس يمتص كل عامل مقياس أُدخل في الطريق.

ما الذي تُعيده الواجهة وكيف تقرؤونه

تُرسلون المعاملات الثلاثة a وb وc للمقام التربيعي، إضافة إلى دقة اختيارية بين 0 و15 منزلة عشرية. يبدأ الرد بتكرار المعاملات والإعلان عن المميِّز d = b²−4ac، الذي يجب أن يكون سالبًا حتى توجد صيغة قوس الظل. ويُقرَّب كل حقل عددي إلى الدقة المطلوبة، والقيم المقرَّبة نفسها هي المستخدمة داخل سلاسل التعبير، فلا تتعارض الصيغة النصية مع الحقول العددية أبدًا.

وإذا اشتققتم الدالة الأصلية المُعادة رمزيًا، استعدتم 1/(ax²+bx+c) تمامًا؛ والاشتقاق موثَّق في الشيفرة المصدرية وفي الحقل formula في كل رد، الذي يذكر المتطابقات المستخدمة ليتمكن مُقيِّم أو زميل من مراجعة الطريقة دون قراءة أي شيفرة.

حالات الاستخدام

مراجعة واجبات حساب التفاضل خطوة بخطوة

قارنوا المربع المُتمَّم وعامل المقياس وتعبير قوس الظل النهائي بكل حقل وسيط، لا بمجرد إجابة نهائية.

توجيه التكاملات في خط معالجة CAS

استخدموا فحص المميِّز لإرسال تكاملات 1/تربيعية إلى فرع قوس الظل أو الفرع اللوغاريتمي تلقائيًا، مع اعتبار الأخطاء إشارة توجيه.

توليد دوال أصلية لنماذج فيزيائية ذات دوال كسرية

غالبًا ما تنتج الأنظمة المُخمَّدة والقسرية حدودًا من الشكل 1/(ax²+bx+c)؛ احصلوا على دالة أصلية مغلقة الصيغة بدقة مضبوطة للتقييم اللاحق.

الأسئلة الشائعة

كم تبلغ التكلفة؟

ويمكن تشغيله مجانًا في متصفحكم على هذه الصفحة.

ما التكاملات التي يعالجها؟

حصرًا ∫ dx/(ax²+bx+c) حيث يكون المميِّز b²−4ac سالبًا. فهذه هي الأسرة التي تكون دالتها الأصلية ثابتًا مضروبًا في قوس ظل لتعبير خطي.

ماذا يحدث عندما يكون المميِّز صفرًا أو موجبًا؟

فتلك الحالات تتكامل إلى لوغاريتمات أو دوال كسرية عبر الكسور الجزئية، وإرجاع قوس ظل سيكون خطأً.

ماذا يعني h وk في الرد؟

هما معاملا المربع المُتمَّم: ax²+bx+c = a((x−h)²+k)، حيث h = −b/(2a) وk = c − b²/(4a).

كيف أتحقق من النتيجة؟

اشتقوا (2/s)·arctan((2ax+b)/s) مع s = √(4ac−b²)؛ تُعطي قاعدة السلسلة 4a/(s²+(2ax+b)²)، التي تُختزل مجددًا إلى 1/(ax²+bx+c). ويذكر الحقل formula في كل رد هذه المتطابقات.

ما صيغ الإدخال المقبولة للمعاملات؟

أعداد أو سلاسل عشرية، مع تدوين علمي اختياري، حتى مقدار 1e15. ويتحكم خيار precision، من 0 إلى 15 منزلة عشرية، في تقريب كل حقل عددي في الرد.

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/math/integration-by-completing-the-square

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/integration-by-completing-the-square \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a":1,"b":2,"c":5}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/integration-by-completing-the-square", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a": 1,
    "b": 2,
    "c": 5
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/math/integration-by-completing-the-square",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a": 1,
    "b": 2,
    "c": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/integration-by-completing-the-square", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a":1,"b":2,"c":5}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":2,"c":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/integration-by-completing-the-square", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "a": 1,
  "b": 2,
  "c": 5
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "math.integration_by_completing_the_square",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الحدود

max_abs_coeff 1000000000000000

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

ملاحظات تقنية

تجد واجهة API للتكامل بإتمام المربع الدالة الأصلية لواحد على كثيرة حدود من الدرجة الثانية، 1/(ax²+bx+c)، عندما لا تكون للمعادلة التربيعية جذور حقيقية. فهي تعيد كتابة المقام على صورة مربع مُتمَّم a((x−h)²+k)، وتطبّق المتطابقة القياسية لقوس الظل، وتُعيد النتيجة الكاملة: المميِّز، وإزاحة الرأس h، والباقي k، وعامل المقياس s، والدالة الأصلية النهائية (2/s)·arctan((2ax+b)/s) + C على هيئة تعبير مقروء.

لماذا يحوّل إتمام المربع هذا التكامل إلى قوس ظل

وتنفّذ نقطة النهاية الخاصة بعملية التكامل بإتمام المربع هذا التسلسل نفسه بالضبط وتكشف كل كمية وسيطة، بحيث يمكنكم التحقق من الجبر خطوة بخطوة بدلًا من الوثوق بصندوق أسود لا يُعيد سوى صيغة نهائية.

ما الذي تُعيده الواجهة وكيف تقرؤونه

ثم يقدّم h وk من المربع المُتمَّم a((x−h)²+k)، معروضًا سلسلةً مقروءةً في الحقل completed_square. ويلي ذلك المقياس s = √(4ac−b²) والمعامل 2/s، وأخيرًا arctan_argument وسلسلة الدالة الأصلية الكاملة، (2/s)·arctan((2ax+b)/s) + C.

متى يكون الرد خطأً، ولماذا ذلك صحيح

المميِّز السالب ليس أمرًا شكليًا؛ إنه خط الفصل بين أسرتين مختلفتين من الدوال الأصلية. فعندما يكون b²−4ac موجبًا، يكون للمعادلة التربيعية جذران حقيقيان مختلفان، ويتحلل المقام على الأعداد الحقيقية، وينقسم التكامل بالكسور الجزئية إلى مجموع لوغاريتمات. وعندما يكون المميِّز صفرًا، تكون المعادلة التربيعية مربعًا كاملًا ويكون التكامل دالة كسرية، ومرة أخرى من دون أي قوس ظل. وإرجاع تعبير قوس ظل في أي من الحالتين سيكون خطأً صامتًا، لذلك ترفض الواجهة كلتيهما بخطأ invalid_input واضح يذكر قيمة المميِّز ويشرح الصيغة التي تنطبق فعلًا. والصرامة نفسها تشمل a = 0، التي تجعل المقام خطيًا والتكامل لوغاريتمًا بسيطًا. ويُهمّ هذا السلوك المُغلق عند الفشل في خطوط المعالجة الآلية: فسلسلة الحلول التي تغذي نقطة النهاية هذه بالمعاملات تتلقى إشارة صريحة قابلة للتحليل لتوجيه المسألة إلى الفرع اللوغاريتمي، بدلًا من صيغة تبدو معقولة لكنها خاطئة تنتشر إلى المراحل اللاحقة. ولا تُحتسب الأخطاء أبدًا عمليات حسابية ناجحة؛ فلا تدفعون إلا $0.002 لكل طلب ناجح، والتحقق نفسه يعمل مجانًا في أداة المتصفح على هذه الصفحة.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←

شغّل الأداة مجانًا

مثال محلول

لماذا يحوّل إتمام المربع هذا التكامل إلى قوس ظل

ما الذي تُعيده الواجهة وكيف تقرؤونه

حالات الاستخدام

مراجعة واجبات حساب التفاضل خطوة بخطوة

توجيه التكاملات في خط معالجة CAS

توليد دوال أصلية لنماذج فيزيائية ذات دوال كسرية

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

الـEndpoint

استدعِ الخدمة من بيئتك

مثال على الطلب

مثال على الاستجابة

الأسعار

الحدود

الأخطاء

ملاحظات تقنية

لماذا يحوّل إتمام المربع هذا التكامل إلى قوس ظل

ما الذي تُعيده الواجهة وكيف تقرؤونه

متى يكون الرد خطأً، ولماذا ذلك صحيح

شكرًا