Intégration par complétion du carré
L'intégrale de 1 sur x² + 2x + 5 vaut 0,5 fois l'arctangente de (2x + 2)/4, plus C. Saisissez les trois coefficients du trinôme et suivez chaque étape : le carré complété, le décalage, le reste et la primitive finale. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- A
- 1
- B
- 2
- C
- 5
- Discriminant
- -16
- H
- -1
- K
- 4
- Carré complété
- ((x + 1)^2 + 4)
Elle réécrit le dénominateur comme un carré complété a((x−h)²+k), applique l'identité standard de l'arctangente et renvoie le résultat complet : le discriminant, le décalage du sommet h, le reste k, le facteur d'échelle s et la primitive finale (2/s)·arctan((2ax+b)/s) + C sous forme d'expression lisible.
Pourquoi la complétion du carré transforme cette intégrale en arctangente
L'intégrale de dx/(x²+1) est arctan(x), l'un des premiers résultats de tout cours de calcul. Compléter le carré est l'opération algébrique qui ramène toute une famille d'intégrales à ce seul cas connu. Tout trinôme ax²+bx+c de coefficient dominant non nul peut se réécrire comme a((x−h)²+k), où h = −b/(2a) est le décalage horizontal et k = c − b²/(4a) est ce qui reste après le décalage.
Lorsque le discriminant b²−4ac est négatif, k est strictement positif par rapport à a, de sorte que le dénominateur est une constante multipliée par une somme de carrés, (x−h)²+k. En factorisant k de cette somme, on obtient la forme 1 + ((x−h)/√k)², et la substitution u = (x−h)/√k convertit l'intégrale directement en un multiple de ∫du/(u²+1). Le résultat est une arctangente dont l'argument est linéaire en x et dont la constante principale absorbe chaque facteur d'échelle introduit en chemin.
Ce que vous obtenez et comment le lire
Vous envoyez les trois coefficients a, b et c du dénominateur quadratique, plus une précision optionnelle entre 0 et 15 décimales. La réponse commence par reprendre les coefficients et indiquer le discriminant d = b²−4ac, qui doit être négatif pour que la forme en arctangente existe. Chaque champ numérique est arrondi à la précision demandée, et les mêmes valeurs arrondies sont celles utilisées dans les chaînes d'expression, de sorte que la forme textuelle et les champs numériques ne se contredisent jamais.
Si vous dérivez symboliquement la primitive renvoyée, vous retrouvez 1/(ax²+bx+c) exactement ; la dérivation est documentée dans le code source et dans le champ formula de chaque réponse, qui énonce les identités utilisées afin qu'un évaluateur ou un collègue puisse auditer la méthode sans lire aucun code.
Cas d’usage
Vérifier des devoirs de calcul étape par étape
Comparez votre carré complété, votre facteur d'échelle et votre expression finale en arctangente avec chaque champ intermédiaire, pas seulement avec une réponse finale.
Router des intégrales dans un pipeline de CAS
Utilisez la vérification du discriminant pour envoyer automatiquement les intégrales de 1/trinôme vers la branche arctangente ou la branche logarithmique, les erreurs servant de signal de routage.
Générer des primitives pour des modèles physiques à fonctions rationnelles
Les systèmes amortis et forcés produisent souvent des termes 1/(ax²+bx+c) ; obtenez une primitive en forme fermée avec une précision contrôlée pour l'évaluation en aval.
Questions fréquentes
Combien ça coûte ?
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Quelles intégrales gère-t-il ?
Exactement ∫ dx/(ax²+bx+c) où le discriminant b²−4ac est négatif. C'est la famille dont la primitive est une constante multipliée par l'arctangente d'une expression linéaire.
Que signifient h et k dans la réponse ?
Ce sont les paramètres du carré complété : ax²+bx+c = a((x−h)²+k), avec h = −b/(2a) et k = c − b²/(4a).
Comment vérifier le résultat ?
Dérivez (2/s)·arctan((2ax+b)/s) avec s = √(4ac−b²) ; la règle de dérivation en chaîne donne 4a/(s²+(2ax+b)²), qui se simplifie en 1/(ax²+bx+c). Le champ formula de chaque réponse énonce ces identités.
Quels formats d’entrée sont acceptés pour les coefficients ?
Des nombres ou des chaînes décimales, avec notation scientifique optionnelle, jusqu’à une magnitude de 1e15. L’option precision, de 0 à 15 décimales, contrôle l’arrondi de chaque champ numérique de la réponse.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/integration-by-completing-the-square \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":2,"c":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/integration-by-completing-the-square", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": 2,
"c": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/integration-by-completing-the-square",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": 2,
"c": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/integration-by-completing-the-square", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":2,"c":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":2,"c":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/integration-by-completing-the-square", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"a": 1,
"b": 2,
"c": 5
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.integration_by_completing_the_square",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Limites
max_abs_coeff | 1000000000000000 |
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
L'API d'intégration par complétion du carré trouve la primitive de un sur un polynôme du second degré, 1/(ax²+bx+c), lorsque le trinôme n'a pas de racines réelles. Lorsque le discriminant est nul ou positif, la forme en arctangente ne s'applique pas, et l'API le signale au lieu de deviner, car ce cas relève de la forme logarithmique avec fractions partielles.
Pourquoi la complétion du carré transforme cette intégrale en arctangente
Le endpoint d'intégration par complétion du carré exécute exactement cette séquence et expose chaque quantité intermédiaire, de sorte que vous pouvez vérifier l'algèbre étape par étape au lieu de faire confiance à une boîte noire qui ne renvoie qu'une formule finale.
Ce que l'API renvoie et comment le lire
Elle donne ensuite h et k du carré complété a((x−h)²+k), présenté comme une chaîne lisible dans le champ completed_square. Viennent ensuite l'échelle s = √(4ac−b²) et le coefficient 2/s, et enfin l'arctan_argument et la chaîne complète de la primitive, (2/s)·arctan((2ax+b)/s) + C.
Quand la réponse est une erreur, et pourquoi c'est correct
Un discriminant négatif n'est pas un détail technique ; c'est la ligne de partage entre deux familles différentes de primitives. Lorsque b²−4ac est positif, le trinôme a deux racines réelles distinctes, le dénominateur se factorise sur les réels et l'intégrale se décompose par fractions partielles en une somme de logarithmes. Lorsque le discriminant est nul, le trinôme est un carré parfait et l'intégrale est une fonction rationnelle, encore une fois sans aucune arctangente. Renvoyer une expression en arctangente dans l'un ou l'autre cas serait silencieusement faux, c'est pourquoi l'API rejette les deux avec une erreur invalid_input claire qui indique la valeur du discriminant et explique quelle forme s'applique réellement. La même rigueur couvre a = 0, qui rend le dénominateur linéaire et l'intégrale un simple logarithme. Ce comportement d'échec fermé compte dans les pipelines automatisés : une chaîne de solveurs qui alimente ce endpoint en coefficients reçoit un signal explicite et analysable pour router le problème vers la branche logarithmique, au lieu d'une formule plausible mais incorrecte qui se propage en aval.
Questions techniques
Que se passe-t-il quand le discriminant est nul ou positif ?
La requête échoue avec une erreur invalid_input qui nomme la valeur du discriminant. Ces cas s'intègrent en logarithmes ou en fonctions rationnelles par fractions partielles, et renvoyer une arctangente serait faux.