Integration durch quadratische Ergänzung
Das Integral von 1 durch x² + 2x + 5 ist 0,5 mal der Arkustangens von (2x + 2)/4, plus C. Geben Sie die drei Koeffizienten ein und sehen Sie jeden Schritt: die quadratische Ergänzung, die Verschiebung, den Rest und die fertige Stammfunktion. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- A
- 1
- B
- 2
- C
- 5
- Diskriminante
- -16
- H
- -1
- K
- 4
- Quadratische Ergänzung
- ((x + 1)^2 + 4)
Sie schreibt den Nenner als ergänztes Quadrat a((x−h)²+k) um, wendet die Standard-Arkustangens-Identität an und liefert das vollständige Ergebnis: die Diskriminante, die Scheitelverschiebung h, den Rest k, den Skalierungsfaktor s und die endgültige Stammfunktion (2/s)·arctan((2ax+b)/s) + C als lesbaren Ausdruck.
Warum quadratische Ergänzung dieses Integral in einen Arkustangens verwandelt
Das Integral von dx/(x²+1) ist arctan(x), eines der ersten Ergebnisse in jeder Analysis-Vorlesung. Die quadratische Ergänzung ist der algebraische Schritt, der eine ganze Familie von Integralen auf diesen einen bekannten Fall zurückführt. Jede Quadratik ax²+bx+c mit nicht verschwindendem Leitkoeffizienten lässt sich als a((x−h)²+k) schreiben, wobei h = −b/(2a) die horizontale Verschiebung ist und k = c − b²/(4a) das, was nach der Verschiebung übrig bleibt.
Wenn die Diskriminante b²−4ac negativ ist, ist k relativ zu a strikt positiv, sodass der Nenner eine Konstante mal einer Summe von Quadraten ist, (x−h)²+k. Klammert man k aus dieser Summe aus, entsteht die Form 1 + ((x−h)/√k)², und die Substitution u = (x−h)/√k verwandelt das Integral direkt in ein Vielfaches des Integrals von 1/(u²+1) nach u. Das Ergebnis ist ein Arkustangens, dessen Argument linear in x ist und dessen führende Konstante jeden unterwegs eingeführten Skalierungsfaktor aufnimmt.
Was Sie erhalten und wie Sie es lesen
Sie senden die drei Koeffizienten a, b und c des quadratischen Nenners sowie optional eine Genauigkeit zwischen 0 und 15 Dezimalstellen. Die Antwort beginnt damit, die Koeffizienten zu wiederholen und die Diskriminante d = b²−4ac zu melden, die negativ sein muss, damit die Arkustangens-Form existiert. Jedes numerische Feld wird auf die gewünschte Genauigkeit gerundet, und dieselben gerundeten Werte werden auch in den Ausdrucks-Zeichenketten verwendet, sodass Textform und Zahlenfelder sich nie widersprechen.
Wenn Sie die zurückgegebene Stammfunktion symbolisch ableiten, erhalten Sie exakt 1/(ax²+bx+c) zurück; die Herleitung ist im Quellcode und im Feld formula jeder Antwort dokumentiert, das die verwendeten Identitäten nennt, damit ein Prüfer oder Kollege die Methode nachvollziehen kann, ohne Code lesen zu müssen.
Anwendungsfälle
Analysis-Hausaufgaben Schritt für Schritt prüfen
Vergleichen Sie Ihr ergänztes Quadrat, Ihren Skalierungsfaktor und Ihren endgültigen Arkustangens-Ausdruck mit jedem Zwischenfeld, nicht nur mit einem Endergebnis.
Integrale in einer CAS-Pipeline weiterleiten
Nutzen Sie die Diskriminanten-Prüfung, um Integrale von 1/Quadratik automatisch in den Arkustangens- oder den Logarithmus-Zweig zu leiten, mit Fehlern als Routing-Signal.
Stammfunktionen für Physikmodelle mit rationalen Funktionen erzeugen
Gedämpfte und erzwungene Systeme erzeugen oft Terme 1/(ax²+bx+c); erhalten Sie eine geschlossene Stammfunktion mit kontrollierter Genauigkeit für die nachgelagerte Auswertung.
Häufige Fragen
Was kostet das?
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Welche Integrale verarbeitet es?
Genau ∫ dx/(ax²+bx+c), wo die Diskriminante b²−4ac negativ ist. Das ist die Familie, deren Stammfunktion eine Konstante mal dem Arkustangens eines linearen Ausdrucks ist.
Was bedeuten h und k in der Antwort?
Es sind die Parameter des ergänzten Quadrats: ax²+bx+c = a((x−h)²+k), mit h = −b/(2a) und k = c − b²/(4a).
Wie prüfe ich das Ergebnis nach?
Leiten Sie (2/s)·arctan((2ax+b)/s) mit s = √(4ac−b²) ab; die Kettenregel ergibt 4a/(s²+(2ax+b)²), was sich wieder zu 1/(ax²+bx+c) vereinfacht. Das Feld formula jeder Antwort nennt diese Identitäten.
Welche Eingabeformate werden für die Koeffizienten akzeptiert?
Zahlen oder Dezimal-Zeichenketten, optional mit wissenschaftlicher Notation, bis zu einem Betrag von 1e15. Die Option precision, 0 bis 15 Dezimalstellen, steuert die Rundung jedes numerischen Felds der Antwort.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/integration-by-completing-the-square \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":2,"c":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/integration-by-completing-the-square", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": 2,
"c": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/integration-by-completing-the-square",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": 2,
"c": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/integration-by-completing-the-square", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":2,"c":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":2,"c":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/integration-by-completing-the-square", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"a": 1,
"b": 2,
"c": 5
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.integration_by_completing_the_square",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Limits
max_abs_coeff | 1000000000000000 |
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Die API zur Integration durch quadratische Ergänzung findet die Stammfunktion von eins geteilt durch ein quadratisches Polynom, 1/(ax²+bx+c), wenn die Quadratik keine reellen Nullstellen hat. Wenn die Diskriminante null oder positiv ist, gilt die Arkustangens-Form nicht, und die API sagt dies, statt zu raten, denn dieser Fall gehört zur logarithmischen Form mit Partialbruchzerlegung.
Warum quadratische Ergänzung dieses Integral in einen Arkustangens verwandelt
Der Endpoint für Integration durch quadratische Ergänzung führt genau diese Schrittfolge aus und legt jede Zwischengröße offen, sodass Sie die Algebra Schritt für Schritt nachprüfen können, statt einer Blackbox zu vertrauen, die nur eine Endformel liefert.
Was die API zurückgibt und wie man es liest
Dann liefert sie h und k aus dem ergänzten Quadrat a((x−h)²+k), dargestellt als lesbare Zeichenkette im Feld completed_square. Es folgen die Skala s = √(4ac−b²) und der Koeffizient 2/s, schließlich das arctan_argument und die vollständige Stammfunktions-Zeichenkette, (2/s)·arctan((2ax+b)/s) + C.
Wann die Antwort ein Fehler ist, und warum das richtig ist
Eine negative Diskriminante ist keine Kleinigkeit; sie ist die Trennlinie zwischen zwei verschiedenen Stammfunktions-Familien. Wenn b²−4ac positiv ist, hat die Quadratik zwei verschiedene reelle Nullstellen, der Nenner zerfällt über den reellen Zahlen, und das Integral zerfällt per Partialbruchzerlegung in eine Summe von Logarithmen. Wenn die Diskriminante null ist, ist die Quadratik ein perfektes Quadrat und das Integral eine rationale Funktion, wieder ganz ohne Arkustangens. In beiden Fällen einen Arkustangens-Ausdruck zurückzugeben wäre stillschweigend falsch, deshalb lehnt die API beide mit einem klaren invalid_input-Fehler ab, der den Wert der Diskriminante nennt und erklärt, welche Form tatsächlich gilt. Derselbe Strenge gilt für a = 0, das den Nenner linear und das Integral zu einem schlichten Logarithmus macht. Dieses Fail-closed-Verhalten ist in automatisierten Pipelines wichtig: Eine Löserkette, die diesem Endpoint Koeffizienten übergibt, erhält ein explizites, maschinell auswertbares Signal, das Problem in den logarithmischen Zweig zu leiten, statt einer plausibel aussehenden, aber falschen Formel, die sich nachgelagert ausbreitet.
Technische Fragen
Was passiert, wenn die Diskriminante null oder positiv ist?
Die Anfrage schlägt mit einem invalid_input-Fehler fehl, der den Wert der Diskriminante nennt. Diese Fälle integrieren zu Logarithmen oder rationalen Funktionen per Partialbruchzerlegung, und ein Arkustangens wäre falsch.