Integrazione completando il quadrato
L'integrale di 1 fratto x² + 2x + 5 è 0,5 per l'arcotangente di (2x + 2)/4, più C. Inserisca i tre coefficienti del polinomio e veda ogni passaggio: il quadrato completato, lo spostamento, il resto e la primitiva finale. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- A
- 1
- B
- 2
- C
- 5
- Discriminante
- -16
- H
- -1
- K
- 4
- Quadrato completato
- ((x + 1)^2 + 4)
Riscrive il denominatore come un quadrato completato a((x−h)²+k), applica l'identità standard dell'arcotangente e restituisce il risultato completo: il discriminante, lo spostamento del vertice h, il resto k, il fattore di scala s e la primitiva finale (2/s)·arctan((2ax+b)/s) + C come espressione leggibile.
Perché completare il quadrato trasforma questo integrale in un'arcotangente
L'integrale di dx/(x²+1) è arctan(x), uno dei primi risultati di qualsiasi corso di calcolo. Completare il quadrato è il passaggio algebrico che riconduce un'intera famiglia di integrali a quell'unico caso noto. Qualsiasi quadratico ax²+bx+c con coefficiente principale non nullo può essere riscritto come a((x−h)²+k), dove h = −b/(2a) è lo spostamento orizzontale e k = c − b²/(4a) è ciò che resta dopo lo spostamento.
Quando il discriminante b²−4ac è negativo, k è strettamente positivo rispetto ad a, quindi il denominatore è una costante moltiplicata per una somma di quadrati, (x−h)²+k. Fattorizzando k da quella somma si ottiene la forma 1 + ((x−h)/√k)², e la sostituzione u = (x−h)/√k converte l'integrale direttamente in un multiplo di ∫du/(u²+1). Il risultato è un'arcotangente il cui argomento è lineare in x e la cui costante principale assorbe ogni fattore di scala introdotto lungo il percorso.
Cosa ottiene e come leggerlo
Lei invia i tre coefficienti a, b e c del denominatore quadratico, più una precisione opzionale tra 0 e 15 cifre decimali. La risposta inizia ripetendo i coefficienti e riportando il discriminante d = b²−4ac, che deve essere negativo affinché esista la forma in arcotangente. Ogni campo numerico è arrotondato alla precisione richiesta, e gli stessi valori arrotondati sono quelli usati all'interno delle stringhe di espressione, quindi la forma testuale e i campi numerici non si contraddicono mai.
Se deriva simbolicamente la primitiva restituita, riottiene esattamente 1/(ax²+bx+c); la derivazione è documentata nel codice sorgente e nel campo formula di ogni risposta, che enuncia le identità usate così che un valutatore o un collega possa verificare il metodo senza leggere alcun codice.
Casi d'uso
Controllare i compiti di calcolo passo dopo passo
Confronti il Suo quadrato completato, il fattore di scala e l'espressione finale in arcotangente con ogni campo intermedio, non solo con una risposta finale.
Instradare integrali in una pipeline CAS
Usi la verifica del discriminante per inviare automaticamente gli integrali di 1/quadratico al ramo dell'arcotangente o al ramo logaritmico, con gli errori come segnale di instradamento.
Generare primitive per modelli fisici con funzioni razionali
I sistemi smorzati e forzati producono spesso termini 1/(ax²+bx+c); ottenga una primitiva in forma chiusa con precisione controllata per la valutazione a valle.
Domande frequenti
Quanto costa?
È anche gratis da eseguire nel Suo browser su questa pagina.
Quali integrali gestisce?
Esattamente ∫ dx/(ax²+bx+c) dove il discriminante b²−4ac è negativo. È la famiglia la cui primitiva è una costante moltiplicata per l'arcotangente di un'espressione lineare.
Cosa succede quando il discriminante è zero o positivo?
Quei casi si integrano in logaritmi o funzioni razionali tramite frazioni parziali, e restituire un'arcotangente sarebbe sbagliato.
Cosa significano h e k nella risposta?
Sono i parametri del quadrato completato: ax²+bx+c = a((x−h)²+k), con h = −b/(2a) e k = c − b²/(4a).
Come verifico il risultato?
Derivi (2/s)·arctan((2ax+b)/s) con s = √(4ac−b²); la regola della catena dà 4a/(s²+(2ax+b)²), che si semplifica di nuovo in 1/(ax²+bx+c). Il campo formula di ogni risposta enuncia queste identità.
Quali formati di input sono accettati per i coefficienti?
Numeri o stringhe decimali, con notazione scientifica opzionale, fino a una magnitudine di 1e15. L’opzione precision, da 0 a 15 cifre decimali, controlla l’arrotondamento di ogni campo numerico della risposta.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/integration-by-completing-the-square \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":2,"c":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/integration-by-completing-the-square", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": 2,
"c": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/integration-by-completing-the-square",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": 2,
"c": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/integration-by-completing-the-square", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":2,"c":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":2,"c":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/integration-by-completing-the-square", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"a": 1,
"b": 2,
"c": 5
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.integration_by_completing_the_square",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Limiti
max_abs_coeff | 1000000000000000 |
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
L'API di integrazione per completamento del quadrato trova la primitiva di uno fratto un polinomio di secondo grado, 1/(ax²+bx+c), quando il quadratico non ha radici reali. Quando il discriminante è zero o positivo, la forma in arcotangente non si applica, e l'API lo segnala invece di tirare a indovinare, perché quel caso appartiene alla forma logaritmica con le frazioni parziali.
Perché completare il quadrato trasforma questo integrale in un'arcotangente
L'endpoint di integrazione per completamento del quadrato esegue esattamente questa sequenza ed espone ogni quantità intermedia, così Lei può verificare l'algebra passo dopo passo invece di fidarsi di una scatola nera che restituisce solo una formula finale.
Cosa restituisce l'API e come leggerlo
Poi fornisce h e k del quadrato completato a((x−h)²+k), presentato come stringa leggibile nel campo completed_square. Seguono la scala s = √(4ac−b²) e il coefficiente 2/s, e infine l'arctan_argument e la stringa completa della primitiva, (2/s)·arctan((2ax+b)/s) + C.
Quando la risposta è un errore, e perché è corretto
Un discriminante negativo non è un tecnicismo; è la linea di confine tra due famiglie diverse di primitive. Quando b²−4ac è positivo, il quadratico ha due radici reali distinte, il denominatore si fattorizza sui reali e l'integrale si scompone per frazioni parziali in una somma di logaritmi. Quando il discriminante è zero, il quadratico è un quadrato perfetto e l'integrale è una funzione razionale, ancora senza alcuna arcotangente. Restituire un'espressione in arcotangente in entrambi i casi sarebbe silenziosamente sbagliato, quindi l'API li rifiuta entrambi con un chiaro errore invalid_input che indica il valore del discriminante e spiega quale forma si applica davvero. Lo stesso rigore copre a = 0, che rende il denominatore lineare e l'integrale un semplice logaritmo. Questo comportamento di fallimento chiuso conta nelle pipeline automatizzate: una catena di risolutori che alimenta questo endpoint con coefficienti riceve un segnale esplicito e analizzabile per instradare il problema verso il ramo logaritmico, invece di una formula plausibile ma errata che si propaga a valle.