Calculadora Poisson

La distribución de Poisson modela cuántos sucesos discretos ocurren en un intervalo fijo cuando las llegadas son independientes y la tasa media es constante. Los centros de llamadas registran tickets por hora, los ingenieros de fiabilidad cuentan fallos por mes y los analistas miden clics, defectos o sucesos biológicos raros con los mismos dos parámetros: una tasa no negativa lambda y un conteo entero k. Esta calculadora devuelve la probabilidad exacta de Poisson de observar k sucesos, la probabilidad acumulada de como máximo k sucesos, y la media y la varianza teóricas (ambas iguales a lambda). Las tasas y los conteos negativos se rechazan con un error de validación claro para que modelos de colas o de conteo mal formados no produzcan números silenciosamente absurdos.

Qué significan la masa y la función acumulada de Poisson

Una variable aleatoria de Poisson X con parámetro de tasa lambda toma valores enteros no negativos 0, 1, 2, y así sucesivamente. La probabilidad de observar exactamente k sucesos en el intervalo de referencia viene dada por la función de masa P(X igual a k) igual a e elevado a menos lambda, por lambda elevado a k, dividido por el factorial de k. Cuando lambda es cero toda la masa se concentra en cero, de modo que P(X igual a cero) es uno y todo k positivo tiene probabilidad cero.

Cuando lambda es positivo la distribución es unimodal y se concentra cerca de la tasa: para lambda pequeño dominan las chances de cero o un suceso, mientras que tasas mayores empujan la masa de probabilidad hacia conteos más altos y aplanan el pico. La función de distribución acumulada F de k es la suma de la masa desde cero hasta k inclusive, de modo que responde a la pregunta cotidiana «¿cuál es la chance de como máximo k llegadas, defectos o reclamaciones?».

Como la media y la varianza de una ley de Poisson son ambas iguales a lambda, un solo parámetro de tasa determina por completo ubicación y dispersión. Esa propiedad explica por qué los cursos introductorios de estadística presentan los modelos de Poisson justo después de las aproximaciones binomiales, y por qué los equipos de operaciones pueden cotizar odds de nivel de servicio a partir de un promedio medido solo.

Las fórmulas son clásicas y plenamente deterministas: los mismos lambda y k deben producir siempre la misma probabilidad, el mismo valor acumulado y la misma media y varianza, lo que hace seguros los números para claves de deberes, pruebas automatizadas y cuadernos reproducibles sin ruido de Monte Carlo.

Cómo evalúa esta calculadora P(X=k), la FDA, la media y la varianza

Llame a la capacidad con dos campos obligatorios: lambda, un número finito no negativo para la tasa media de sucesos, y k, un entero no negativo para el conteo de sucesos de interés. Tras la validación, el núcleo evalúa la masa de probabilidad en espacio logarítmico como menos lambda más k por el logaritmo natural de lambda menos el logaritmo del factorial de k, y luego exponentiza a una probabilidad flotante estable.

El valor acumulado se construye partiendo de e a la menos lambda y multiplicando términos sucesivos por lambda sobre i, lo que evita recomputar factoriales grandes desde cero en cada índice. Cuando e a la menos lambda subdesborda para tasas muy grandes, el motor recurre a una suma en espacio logarítmico de términos de masa individuales para que el acumulado aún se asiente. La media y la varianza se reportan como el propio lambda, coincidiendo con las identidades cerradas de Poisson.

Uso práctico, límites, precios y entrega

Use la herramienta del navegador cuando desee una probabilidad de Poisson inmediata al comprobar una respuesta de colas, dimensionar un turno de soporte o explicar odds de sucesos raros sin instalar un paquete estadístico. Los resultados son plenamente deterministas: los mismos lambda y k siempre producen la misma probabilidad, acumulada, media y varianza. No hay modelo de lenguaje, ni servicio externo de probabilidad, ni aleatoriedad, de modo que la capacidad es segura para fijar en comprobaciones de integración continua y materiales de lección reproducibles.

Conecte el extremo a herramientas de planificación de capacidad, tutoriales de tasa de defectos, sandboxes de entrevistas de programación o tuberías de conteo de sucesos donde ya prefiera la aritmética de Poisson en forma cerrada frente a histogramas de simulación aproximada que nunca se asientan del todo en la misma probabilidad de cola dos veces.