Calcolatore Poisson

La distribuzione di Poisson modellizza quanti eventi discreti si verificano in un intervallo fisso quando gli arrivi sono indipendenti e il tasso medio è costante. I call center tracciano i ticket all’ora, gli ingegneri di affidabilità contano i guasti al mese e gli analisti misurano clic, difetti o eventi biologici rari con gli stessi due parametri: un tasso non negativo lambda e un conteggio intero k. Questo calcolatore restituisce la probabilità esatta di Poisson di osservare k eventi, la probabilità cumulata di al più k eventi, e la media e la varianza teoriche (entrambe uguali a lambda). Tassi e conteggi negativi sono rifiutati con un errore di validazione chiaro affinché modelli di code o di conteggio malformati non producano mai numeri assurdamente silenziosi.

Cosa significano massa e funzione cumulativa di Poisson

Una variabile aleatoria di Poisson X con parametro di tasso lambda assume valori interi non negativi 0, 1, 2, e così via. La probabilità di osservare esattamente k eventi nell’intervallo di riferimento è data dalla funzione di massa P(X uguale a k) uguale a e elevato a meno lambda, per lambda elevato a k, diviso per il fattoriale di k. Quando lambda è zero tutta la massa si concentra in zero, così P(X uguale a zero) è uno e ogni k positivo ha probabilità zero.

Quando lambda è positivo la distribuzione è unimodale e concentrata vicino al tasso: per lambda piccolo dominano le chance di zero o un evento, mentre tassi maggiori spingono la massa di probabilità verso conteggi più alti e appiattiscono il picco. La funzione di ripartizione F di k è la somma della massa da zero a k incluso, rispondendo alla domanda quotidiana «qual è la chance di al più k arrivi, difetti o sinistri?».

Poiché media e varianza di una legge di Poisson sono entrambe uguali a lambda, un solo parametro di tasso determina del tutto posizione e dispersione. Quella proprietà spiega perché i corsi introduttivi di statistica presentano i modelli di Poisson subito dopo le approssimazioni binomiali, e perché i team operativi possono quotare odds di livello di servizio da una media misurata da sola.

Le formule sono classiche e pienamente deterministiche: gli stessi lambda e k devono sempre produrre la stessa probabilità, lo stesso valore cumulato e le stesse media e varianza, rendendo i numeri sicuri per chiavi di correzione, test automatici e notebook riproducibili senza rumore di Monte Carlo.

Come questo calcolatore valuta P(X=k), la FDA, media e varianza

Chiami la capacità con due campi obbligatori: lambda, un numero finito non negativo per il tasso medio di eventi, e k, un intero non negativo per il conteggio di eventi di interesse. Dopo la validazione, il nucleo valuta la massa di probabilità in spazio logaritmico come meno lambda più k volte il logaritmo naturale di lambda meno il logaritmo del fattoriale di k, poi esponenzia a una probabilità floating stabile.

Il valore cumulato si costruisce partendo da e alla meno lambda e moltiplicando termini successivi per lambda su i, evitando di ricalcolare grandi fattoriali da zero a ogni indice. Quando e alla meno lambda va in underflow per tassi molto grandi, il motore ricorre a una somma in spazio logaritmico dei singoli termini di massa affinché il cumulato si assesti ancora. Media e varianza sono riportate come lo stesso lambda, in accordo con le identità chiuse di Poisson.