Calculadora Poisson

A distribuição de Poisson modela quantos eventos discretos ocorrem em um intervalo fixo quando as chegadas são independentes e a taxa média é constante. Centrais de atendimento registram tickets por hora, engenheiros de confiabilidade contam falhas por mês e analistas medem cliques, defeitos ou eventos biológicos raros com os mesmos dois parâmetros: uma taxa não negativa lambda e uma contagem inteira k. Esta calculadora devolve a probabilidade exata de Poisson de observar k eventos, a probabilidade acumulada de no máximo k eventos, e a média e a variância teóricas (ambas iguais a lambda). Taxas e contagens negativas são rejeitadas com um erro de validação claro para que modelos de filas ou de contagem malformados nunca produzam números absurdos em silêncio.

O que significam a massa e a função acumulada de Poisson

Uma variável aleatória de Poisson X com parâmetro de taxa lambda assume valores inteiros não negativos 0, 1, 2, e assim por diante. A probabilidade de observar exatamente k eventos no intervalo de referência é dada pela função de massa P(X igual a k) igual a e elevado a menos lambda, vezes lambda elevado a k, dividido pelo fatorial de k. Quando lambda é zero toda a massa fica em zero, de modo que P(X igual a zero) é um e todo k positivo tem probabilidade zero.

Quando lambda é positivo a distribuição é unimodal e concentrada perto da taxa: para lambda pequeno dominam as chances de zero ou um evento, enquanto taxas maiores empurram a massa de probabilidade para contagens mais altas e achatam o pico. A função de distribuição acumulada F de k é a soma da massa de zero até k inclusive, respondendo à pergunta cotidiana «qual é a chance de no máximo k chegadas, defeitos ou sinistros?».

Como a média e a variância de uma lei de Poisson são ambas iguais a lambda, um único parâmetro de taxa determina por completo localização e dispersão. Essa propriedade explica por que cursos introdutórios de estatística apresentam modelos de Poisson logo após aproximações binomiais, e por que equipes de operações podem cotar odds de nível de serviço a partir de uma média medida sozinha.

As fórmulas são clássicas e plenamente determinísticas: os mesmos lambda e k devem sempre produzir a mesma probabilidade, o mesmo valor acumulado e a mesma média e variância, o que torna os números seguros para gabaritos, testes automatizados e notebooks reprodutíveis sem ruído de Monte Carlo.

Como esta calculadora avalia P(X=k), a FDA, a média e a variância

Chame a capacidade com dois campos obrigatórios: lambda, um número finito não negativo para a taxa média de eventos, e k, um inteiro não negativo para a contagem de eventos de interesse. Após a validação, o núcleo avalia a massa de probabilidade em espaço logarítmico como menos lambda mais k vezes o logaritmo natural de lambda menos o logaritmo do fatorial de k, e então exponentiza para uma probabilidade flutuante estável.

O valor acumulado é construído partindo de e a menos lambda e multiplicando termos sucessivos por lambda sobre i, o que evita recomputar fatoriais grandes do zero a cada índice. Quando e a menos lambda sofre underflow para taxas muito grandes, o motor recorre a uma soma em espaço logarítmico de termos de massa individuais para que o acumulado ainda se assente. Média e variância são reportadas como o próprio lambda, batendo com as identidades fechadas de Poisson.