Soma de divisores unitários
Os divisores unitários de 12 são 1, 3, 4 e 12, que somam 20, enquanto todos os seus divisores somam 28. Digite um inteiro positivo para obter essa soma junto com as potências de primos que a explicam. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- N
- 12
- Soma dos divisores unitários
- 20
A soma dos divisores unitários, representada por sigma estrela de n, adiciona os divisores positivos d para os quais d e n dividido por d não compartilham fator primo. Ela se relaciona à conhecida função soma dos divisores, mas responde a outra questão da teoria dos números e geralmente produz um resultado diferente. Informe um inteiro positivo para receber sua soma dos divisores unitários e a fatoração em potências primas que fundamenta o cálculo. O algoritmo é determinístico, funciona sem conexão de rede e trata um como o caso-base do produto vazio.
O que torna um divisor unitário
Um divisor positivo d de n é unitário quando d é coprimo de seu divisor complementar n dividido por d. Na prática, cada potência prima completa de n deve ficar inteiramente em um dos lados desse par. Considere 12, cuja fatoração em potências primas é 2 ao quadrado vezes 3.
Seus divisores unitários são 1, 3, 4 e 12: cada um escolhe todo o fator 4 ou nenhum dele e, independentemente, todo o fator 3 ou nenhum. Os divisores 2 e 6 são divisores comuns, mas não unitários, pois cada um compartilha um fator 2 com seu complemento. Portanto, a soma comum dos divisores de 12 é 28, enquanto a soma dos divisores unitários é 20.
Esta calculadora obtém a última quantidade, geralmente indicada por sigma estrela de n. A diferença é importante na teoria multiplicativa dos números, nos estudos de números perfeitos unitários e em qualquer fórmula cuja relação entre divisores exija complementos coprimos, e não apenas uma divisão exata.
Como sigma estrela é calculado
Escreva a fatoração prima de n como um produto de potências primas completas p elevado a a. Para cada potência prima existem exatamente duas escolhas unitárias: incluir todo o valor p elevado a a ou incluir 1. A expansão de todas as escolhas independentes fornece cada divisor unitário uma vez; por isso, sua soma é o produto dos fatores 1 mais p elevado a a.
A implementação primeiro valida n, depois realiza divisão por tentativa determinística, registra cada primo, expoente e potência completa e finalmente multiplica esses fatores curtos. Para 72, a fatoração é 2 ao cubo vezes 3 ao quadrado, então sigma estrela é (1 + 8)(1 + 9), ou 90. Para um primo q, os únicos divisores unitários são 1 e q, resultando em q + 1.
Para n igual a 1, a lista de fatores fica vazia e o produto é 1.
Como usar o resultado com segurança
Envie n como um número inteiro positivo não superior a um trilhão. Os números do JavaScript permanecem exatos para os resultados aceitos dentro do intervalo declarado, mas o limite também importa para o tempo de execução, pois a divisão por tentativa pode examinar candidatos até a raiz quadrada de n. Para inteiros muito maiores ou criptográficos, use um sistema específico de fatoração com precisão arbitrária.
Esta capacidade é deliberadamente voltada a um cálculo transparente e limitado, e não a um serviço de fatoração sem limites.
Casos de uso
Estudar números perfeitos unitários
Calcule valores de sigma estrela para inteiros candidatos antes de comparar o resultado ao dobro do número original.
Conferir exercícios de teoria dos números
Verifique um produto de potências primas obtido à mão e diferencie claramente os divisores unitários de todos os divisores comuns.
Criar dados de sequências determinísticas
Gere termos reproduzíveis de sigma estrela para tabelas limitadas de inteiros, testes automatizados ou cadernos exploratórios.
Perguntas frequentes
O que é um divisor unitário?
Um divisor d de n é unitário quando d e n dividido por d são coprimos, portanto nenhum fator primo é compartilhado pelos divisores complementares.
Qual é a diferença para a soma comum dos divisores?
A soma comum inclui todos os divisores positivos. Sigma estrela inclui apenas divisores unitários, que devem conter uma potência prima completa de n ou nada dela.
Qual fórmula a calculadora usa?
Se n é o produto de potências primas p^a, a soma dos divisores unitários é o produto de (1 + p^a) para essas potências primas distintas.
O que a calculadora retorna para um?
Ela retorna 1. A fatoração fica vazia, e o produto vazio usado para sigma estrela de 1 é igual a 1.
Qual é a soma dos divisores unitários de 72?
É 90. Como 72 é 2³ × 3², suas potências de primos completas são 8 e 9, e a soma é o produto (1 + 8) × (1 + 9), que dá 90.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/unitary-divisor-sum \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":12}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/unitary-divisor-sum", {
method: "POST",
headers: {
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"Content-Type": "application/json"
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
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headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/unitary-divisor-sum", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
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$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":12}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/unitary-divisor-sum", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"n": 12
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.unitary_divisor_sum",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
max_n | 1000000000000 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Como sigma estrela é calculado
Não há enumeração de divisores, busca aleatória de fatores, aproximação de ponto flutuante, solicitação de rede nem operação dependente do relógio; chamadas repetidas com a mesma entrada aceita retornam o mesmo resultado JSON.
Como usar o resultado com segurança
A resposta retorna n, unitary_divisor_sum e factors em ordem crescente de primos; cada fator contém os campos prime, exponent e power. Esses detalhes permitem verificar se cada multiplicador do produto tem a forma 1 mais power, o que é útil em materiais didáticos, dados de teste, anotações de pesquisa e experimentos computacionais reproduzíveis. Entradas abaixo de um, valores ausentes, frações, texto não numérico e valores acima do limite publicado produzem um erro invalid_input, não uma resposta enganosa. Uma solicitação API bem-sucedida custa US$ 0,002, enquanto a versão do navegador usa localmente a mesma aritmética pura.
Perguntas técnicas
Quais entradas causam erro?
Um valor ausente, abaixo de 1, fracionário, um texto não numérico ou um inteiro acima de 1,000,000,000,000 retorna invalid_input.
Quanto custa uma solicitação API?
Uma solicitação API bem-sucedida custa US$ 0,002. A calculadora do navegador executa localmente o mesmo núcleo determinístico.