Calculadora de MHS

O movimento harmônico simples é a oscilação sem amortecimento que aparece quando a força restauradora é linear com o deslocamento em relação ao equilíbrio: uma massa em uma mola, um pêndulo de ângulo pequeno, um oscilador de torção ou a projeção cartesiana de um movimento circular uniforme. A posição no instante t é a senóide de forma fechada x(t) igual a A vezes o cosseno de ômega t mais phi, em que A é a amplitude, ômega é a frequência angular em radianos por segundo e phi é a constante de fase em radianos. Esta calculadora avalia esse deslocamento para qualquer amplitude, frequência angular, fase e tempo finitos, e também devolve a velocidade e a aceleração a partir do mesmo argumento.

O que significa x(t) = A cos(ωt + φ)

O movimento harmônico simples é a única oscilação sem amortecimento cuja força restauradora é estritamente linear com o deslocamento com sinal a partir de um único equilíbrio. Sob essa lei do tipo Hooke, a equação newtoniana m vezes x dois pontos mais k vezes x igual a zero admite a família de forma fechada x de t igual a A cosseno de ômega t mais phi, com ômega igual à raiz de k sobre m para um par massa-mola.

A mesma senóide é a projeção em x de um ponto que percorre a velocidade constante um círculo de raio A, e por isso os manuais apresentam o MHS por meio do movimento circular mesmo quando o sistema de laboratório é uma mola, um pêndulo ou um fio de torção. A amplitude A é o máximo afastamento do equilíbrio e carrega a unidade de comprimento da resposta: metros no SI, ou a unidade de comprimento coerente que você já usou para A.

A frequência angular ômega, em radianos por segundo, indica quão rápido o argumento do cosseno avança; vale dois pi vezes a frequência ordinária em hertz, e o período é dois pi sobre o valor absoluto de ômega quando ômega não é zero. A fase phi, em radianos, fixa a posição no instante zero: phi nula parte de mais A, phi igual a pi parte de menos A, e phi igual a pi sobre dois parte de zero no sentido negativo.

O tempo t é o instante de avaliação em segundos; tempos negativos são matematicamente válidos e simplesmente fazem o oscilador andar para trás. Amortecimento, forças de excitação e molas não lineares ficam fora do escopo: substituem o cosseno único por envelopes que decaem, integrais particulares ou trajetórias numéricas que pertencem a outras páginas.

Contrato de entrada, unidades e erros

A amplitude é o campo que a especificação destaca: se amplitude não for um número finito, a tarefa falha e não é cobrada, em vez de devolver um deslocamento NaN oco que um cliente com defeito poderia tratar como sucesso. Infinity, NaN e strings não numéricas são rejeitados do mesmo modo. Amplitude negativa é permitida porque equivale a somar pi à fase; amplitude nula produz deslocamento de repouso zero em todo instante.

Frequência angular nula também é permitida e produz o deslocamento constante A cosseno de phi, o limite estático de um oscilador que não oscila. A fase deve ser enviada em radianos, não em graus: converta graus multiplicando por π/180 antes da chamada, porque um palpite silencioso de grau para radiano faria as chaves de sala e os goldens discordarem.

Em caso de sucesso, o corpo ecoa as quatro entradas limpas, o argumento de fase ômega t mais phi, o deslocamento x, a velocidade menos A ômega seno do argumento, a aceleração menos A ômega ao quadrado cosseno do argumento, e uma string de fórmula que reafirma x de t igual a A cosseno de ômega t mais phi.

Checagens clássicas: A igual a quatro, ômega igual a dois, phi igual a zero, t igual a zero dá deslocamento quatro; e A igual a dois, ômega igual a um, phi igual a pi, t igual a zero dá deslocamento menos dois.

Onde uma calculadora de deslocamento MHS se paga

Salas de aula e plataformas de tutoria usam uma calculadora de movimento harmônico simples para que quem aprende confira x de t com A, ômega, phi e t arbitrários sem misturar convenções de seno e cosseno nem esquecer que a fase vai em radianos.

Cadernos de laboratório que registram traços massa-mola costumam conhecer a amplitude com uma régua, o período com um cronômetro (daí ômega igual a dois pi sobre T) e uma fase a partir da posição inicial; avaliar o deslocamento em um instante escolhido é o primeiro passo antes de sobrepor uma curva teórica a um arquivo de fotoportão.

Motores de jogo e de animação que fingem uma boia oscilando, uma placa balançando ou um HUD respirando usam o mesmo cosseno, e precisam de uma função pura que nunca dependa de Date do relógio de parede para que um arquivo de replay permaneça bit-stable. Validação falha não consome saldo. Mantenha as solicitações pequenas, fixe o deslocamento arredondado nos testes e você obtém posições reproduzíveis para lições, plugins LMS e workers de borda sem levantar um solver numérico de EDO próprio.