SHM-Rechner

Die einfache harmonische Schwingung ist die ungedämpfte Oszillation, die entsteht, wenn die Rückstellkraft linear mit der Auslenkung aus der Gleichgewichtslage ist: eine Masse an einer Feder, ein Pendel bei kleinen Winkeln, ein Torsionsoszillator oder die kartesische Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung. Die Position zum Zeitpunkt t ist die geschlossene Sinusform x(t) gleich A mal Kosinus von Omega t plus Phi, wobei A die Amplitude ist, Omega die Kreisfrequenz in Radiant pro Sekunde und Phi die Phasenkonstante in Radiant. Dieser Rechner wertet diese Auslenkung für jede endliche Amplitude, Kreisfrequenz, Phase und Zeit aus und liefert außerdem Geschwindigkeit und Beschleunigung aus demselben Argument.

Was x(t) = A cos(ωt + φ) bedeutet

Die einfache harmonische Schwingung ist die einzige ungedämpfte Oszillation, deren Rückstellkraft streng linear in der vorzeichenbehafteten Auslenkung von einem einzigen Gleichgewicht ist. Unter diesem Hooke-artigen Gesetz besitzt die newtonsche Gleichung m mal x Doppelpunkt plus k mal x gleich null die geschlossene Familie x von t gleich A Kosinus von Omega t plus Phi, mit Omega gleich der Wurzel aus k über m für ein Masse-Feder-Paar.

Dieselbe Sinusform ist die x-Projektion eines Punktes, der mit konstanter Geschwindigkeit einen Kreis vom Radius A durchläuft; deshalb führen Lehrbücher SHM über Kreisbewegung ein, auch wenn das Laborsystem eine Feder, ein Pendel oder ein Torsionsdraht ist. Die Amplitude A ist die maximale Auslenkung aus dem Gleichgewicht und trägt die Längeneinheit der Antwort: Meter im SI oder die konsistente Längeneinheit, die Sie bereits für A verwendet haben.

Die Kreisfrequenz Omega in Radiant pro Sekunde gibt an, wie schnell das Argument des Kosinus fortschreitet; sie ist zwei Pi mal die gewöhnliche Frequenz in Hertz, und die Periode ist zwei Pi über dem Absolutwert von Omega, wenn Omega nicht null ist. Die Phase Phi in Radiant setzt die Position zum Zeitpunkt null: Phi null startet bei plus A, Phi gleich Pi startet bei minus A, und Phi gleich Pi über zwei startet bei null in negativer Richtung.

Die Zeit t ist der Auswertezeitpunkt in Sekunden; negative Zeiten sind mathematisch gültig und lassen den Oszillator lediglich rückwärts laufen. Dämpfung, Antriebskräfte und nichtlineare Federn liegen außerhalb des Umfangs: sie ersetzen den einzelnen Kosinus durch abklingende Hüllkurven, partikuläre Integrale oder numerische Trajektorien, die auf andere Seiten gehören.

Eingabevertrag, Einheiten und Fehlerverhalten

Die Amplitude ist das Feld, das die Spezifikation hervorhebt: ist amplitude keine endliche Zahl, schlägt die Aufgabe fehl und wird nicht berechnet, anstatt eine hohle NaN-Auslenkung zurückzugeben, die ein fehlerhafter Client als Erfolg werten könnte. Infinity, NaN und nichtnumerische Zeichenketten werden ebenso abgelehnt. Eine negative Amplitude ist zulässig, weil sie dem Addieren von Pi zur Phase entspricht; Amplitude null ergibt die Ruheauslenkung null zu jeder Zeit.

Kreisfrequenz null ist ebenfalls zulässig und ergibt die konstante Auslenkung A Kosinus von Phi, den statischen Grenzfall eines Oszillators, der nicht schwingt. Die Phase muss in Radiant gesendet werden, nicht in Grad: rechnen Sie Grad um, indem Sie vor dem Aufruf mit π/180 multiplizieren, denn eine stille Grad-zu-Radiant-Vermutung würde Klassenlösungen und goldens auseinanderlaufen lassen.

Bei Erfolg spiegelt der Körper die vier bereinigten Eingaben, das Phasenargument Omega t plus Phi, die Auslenkung x, die Geschwindigkeit minus A Omega Sinus des Arguments, die Beschleunigung minus A Omega zum Quadrat Kosinus des Arguments sowie eine Formelzeichenkette, die x von t gleich A Kosinus von Omega t plus Phi festhält. Klassische Prüfungen: A gleich vier, Omega gleich zwei, Phi gleich null, t gleich null ergibt Auslenkung vier; und A gleich zwei, Omega gleich eins, Phi gleich Pi, t gleich null ergibt Auslenkung minus zwei.

Wo ein SHM-Auslenkungsrechner seinen Nutzen hat

Unterrichtsräume und Tutoring-Plattformen nutzen einen Rechner für einfache harmonische Schwingung, damit Lernende x von t für beliebige A, Omega, Phi und t prüfen können, ohne Sinus- und Kosinuskonventionen zu vermischen oder zu vergessen, dass die Phase in Radiant steht. Laborhefte, die Masse-Feder-Spuren aufzeichnen, kennen oft die Amplitude vom Lineal, die Periode von der Stoppuhr (daher Omega gleich zwei Pi über T) und eine Phase aus der Startlage; die Auslenkung zu einem gewählten Zeitpunkt auszuwerten ist der erste Schritt, bevor eine theoretische Kurve über eine Lichtschrankendatei gelegt wird.

Spiel- und Animationsrigs, die eine nickende Boje, ein schwankendes Schild oder ein atmendes HUD vortäuschen, nutzen denselben Kosinus und brauchen eine reine Funktion, die niemals von Date der Wanduhr abhängt, damit eine Wiederholungsdatei bit-stable bleibt. Fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet. Halten Sie Anfragen klein, pinnen Sie die gerundete Auslenkung in Tests und Sie erhalten reproduzierbare Positionen für Hausaufgaben, LMS-Erweiterungen und Rand-Worker, ohne einen eigenen numerischen ODE-Löser aufzustellen.