سرد جميع التركيبات المرتبة لعدد صحيح

التركيب المرتب لعدد صحيح موجب n هو طريقة لكتابة n مجموعًا لأعداد صحيحة موجبة يكون فيها ترتيب الحدود مهمًّا: فالتركيب 1+2 يختلف عن 2+1 بوصفهما تركيبين للعدد 3، ويوجد دائمًا بالضبط 2 مرفوعًا للقوة n ناقص واحد من التركيبات إجمالًا. تأخذ هذه القدرة عددًا صحيحًا موجبًا واحدًا n وتُعيد كل تركيب في صورة مصفوفة مرتبة من الأجزاء، إضافةً إلى العدد الإجمالي، فلا تضطر إلى بناء شجرة تعاودية يدويًّا أو المخاطرة بإغفال فرع عند مراجعة واجب أو توليد بيانات اختبار أو استكشاف مسائل توافيقية قريبة من التجزئة.

ما التركيبات المرتبة وكيف تختلف عن التجزئات

في نظرية الأعداد والتوافيق، يكون تركيب العدد n متتاليةً مرتبةً من الأعداد الصحيحة الموجبة التي مجموعها n. وخلافًا لتجزئات العدد الصحيح، حيث لا تهم إلا المجموعة المتعددة من الأجزاء ويُعامل 1+2 على أنه ذاته 2+1، تُعامل التركيبات كل ترتيب على أنه كائن متمايز. فلأي n لا يقل عن واحد يوجد بالضبط اثنان مرفوعًا للقوة n ناقص واحد من التركيبات: إذ يقابل كل تركيب وضع فاصل أو حذفه بين وحدتين متتاليتين في صف مكوّن من n من الآحاد.

تستعمل الكتب المدرسية التركيبات حين يشفّر الترتيب تسلسلًا أو رتبةً أو تخصيصًا على مراحل — مثل أحجام الكتل المتتابعة في جدول، أو أطوال السلاسل في نص ثنائي، أو أحجام الخطوات على مسار يجب أن يقطع n من الوحدات بالضبط. وكثيرًا ما يخلط الطلاب بين العائلتين لأن كلتيهما تجيبان «كيف يمكن كتابة n مجموعًا»، غير أن التركيبات وحدها تعبأ بالترتيب من اليسار إلى اليمين.

وإعادة القائمة المرتبة كاملةً تجعل هذا التمييز ملموسًا: فترى كل إعادة ترتيب، لا ممثلًا واحدًا مرتَّبًا قانونيًّا، وينبغي أن يطابق حقل العدد الصيغة المغلقة حتى تكتشف فورًا أي تعداد يدوي ناقص.

كيف تعدّ القدرة التركيبات ومتى ترفض

يبني المحرك كل تركيب بالتوسيع التعاودي للجزء الأول: فلأجل المجموع المتبقي r يجرّب كل حجم جزء k من واحد حتى r، ويسبق k أو يلحقه بالبادئة المتنامية، ويواصل حتى يصير الباقي صفرًا، فتُسجَّل المتتالية المكتملة عندئذٍ. ويُنتج هذا المسار ترتيبًا ثابتًا حتميًّا — فالطلبات المتطابقة تنتج دائمًا المصفوفة ذاتها من المصفوفات — من غير اعتماد على ساعات أو عشوائية أو حالة شبكة. وتُبلّغ الاستجابة عن n نفسه، ومصفوفة التركيبات، والعدد المساوي لطول تلك المصفوفة (وهو دائمًا اثنان مرفوعًا للقوة n ناقص واحد لقيمة n صحيحة).

أما حقول n الناقصة أو غير الصحيحة أو المشوَّهة فتُرفض بالطريقة نفسها ولا يُحاسَب عليها أبدًا.

أين تستعمل القائمة وكم تكلّف

استعمل أداة المتصفح المجانية حين تريد فحصًا بصريًّا سريعًا لعدد n صغير، أو استدعِ الواجهة حين يحتاج سكربت أو سجل درجات أو مولّد أو دفتر بحثي إلى حلّ قيم كثيرة بالطريقة ذاتها في كل مرة. ومن المواضع النموذجية التحقق من إجابات الطلاب التي تسرد تركيبات عدد n معطى، وتوليد حالات اختبار شاملة لدوال تقبل متتاليات أجزاء مرتبة، واستكشاف متطابقات توافيقية تعدّ التركيبات ذات أحجام الأجزاء المقيدة بترشيح القائمة الكاملة لاحقًا، وتوثيق خيارات التقسيم على مراحل حين تُوزَّع ميزانية من n وحدة على أطوار مرتبة.

أبقِ n داخل الحدود الموثّقة لتظل الاستجابة قابلة للإدارة؛ وإذا لم تحتج إلا إلى العدد وحده، فما زال بوسعك استعمال هذه الأداة لعدد n صغير أو تطبيق الصيغة المغلقة اثنان مرفوعًا للقوة n ناقص واحد خارج الأداة للأعمال النظرية الأكبر. يعمل مسار المتصفح محليًّا ولا يحتاج حسابًا. عامِل العدد المُعاد على أنه المرجع المعتمد للمصفوفات المسرودة بدل إعادة حساب الطول في شفرة عميل قد تنحرف عن هذا العقد.