حاسبة دالة غاما
Γ(2.5) تساوي 1.3293403882: تمدّ دالة غاما المضروب إلى كل الأعداد الحقيقية، فتكون Γ(5) مساوية للمضروب 4! أي 24. أدخل أي قيمة حقيقية عدا الصفر والأعداد الصحيحة السالبة لتحصل على نحو خمسة عشر رقمًا معنويًا. مجاني في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- X
- 2.5
- غاما
- 1.3293403882
تُحسب هذه الأداة قيمة دالة غاما Γ(x)، وهي الامتداد المستمر لدالة المضروب، لأي عدد حقيقي x. تعتمد تقريب Lanczos مع صيغة الانعكاس للمدخلات السالبة غير الصحيحة، وتقدّم دقة تبلغ نحو خمس عشرة خانة معنوية. أما الأعداد الصحيحة غير الموجبة، حيث توجد أقطاب الدالة، فتُرفض برسالة خطأ واضحة. الأداة مجانية وحتمية وتحفظ خصوصيتك في متصفحك — دون حساب ودون أي اتصال بالشبكة، إذ يجري الحساب كاملًا على جهازك عبر محرك التحليل.
مضروب يعمل أيضًا بين الأعداد الصحيحة
لا معنى للمضروب إلا مع الأعداد الصحيحة: فالمضروب 4! هو 4 × 3 × 2 × 1. أما دالة غاما فتملأ الفجوات بينها. لكل عدد صحيح موجب n تساوي Γ(n) المضروب (n−1)!، فتكون قيمة Γ(5) هي 24، لكن المنحنى يمر أيضًا بسلاسة بكل القيم الواقعة بينها، مثل Γ(2.5) = 1.3293403882، بل وبالقيمة Γ(0.5) التي تساوي الجذر التربيعي للعدد π. وخارج الأعداد الصحيحة تُعرَّف الدالة بتكامل ليس له صيغة مغلقة، ولهذا نحتاج إلى حاسبة. وهي ضرورية في الإحصاء، لأن توزيعات بيتا وغاما وكاي تربيع تستعملها حتى يكون مجموع احتمالاتها واحدًا.
كيف تُحسب القيمة وما الأخطاء الشائعة
بدل حساب التكامل مباشرة، تستخدم الحاسبة تقريب لانكوز، وهو صيغة قصيرة تقوم على تسعة معاملات ثابتة وتعطي نحو خمسة عشر رقمًا معنويًا. وللقيم الأقل من 0.5 تطبّق أولًا صيغة الانعكاس لأويلر التي تنقل السؤال إلى 1 − x حيث تعمل الصيغة جيدًا. وتُقرَّب النتيجة إلى عشر منازل عشرية. أكثر الأخطاء شيوعًا هو الإزاحة بمقدار واحد: Γ(n) هي مضروب n − 1 وليست مضروب n. والخطأ الثاني هو انتظار قيمة عند الصفر أو عند عدد صحيح سالب، حيث لا توجد قيمة أصلًا. أما المدخلات الكبيرة جدًا فتتجاوز ما يتسع له الحساب العادي: Γ(172) قريبة بالفعل من الحد، لذلك تُعلَن القيم الأكبر خارج النطاق.
كيف يحسب تقريب Lanczos قيمة Γ(x)
تُعمّم دالة غاما مفهوم المضروب: فللأعداد الصحيحة الموجبة تساوي Γ(n) القيمة (n−1)!، وفيما عدا ذلك تُعرَّف بتكامل لا صيغة مغلقة له. أما عندما يكون x < 0.5 فيطبّق الخوارزم صيغة انعكاس Euler، أي Γ(x) = π / (sin(πx) · Γ(1−x))، التي تنقل الوسيط إلى نصف المستوى الأيمن حسن التهيئة قبل تطبيق المتسلسلة نفسها. وكل شيء هنا تسلسل ثابت من عمليات الحساب بالدقة المزدوجة: لا تكرار حتى بلوغ سماحية، ولا عشوائية، ولا تاريخ، ولا شبكة.
حالات الاستخدام
الإحصاء والاحتمالات
احسب ثوابت التطبيع لتوزيعات beta و gamma و chi-square دون تثبيت SciPy.
الواجبات والتدريس
تحقق من Γ(n) = (n−1)! ومن قيم أنصاف الأعداد الصحيحة مثل Γ(2.5) ومن صيغة الانعكاس بإجابات قابلة للتكرار.
الأسئلة الشائعة
ما مدى دقة النتيجة؟
تقريب Lanczos بتسعة معاملات دقيق بنحو خمس عشرة خانة معنوية؛ وتُقرَّب المخرجات إلى عشر خانات عشرية لضمان عقد ثابت.
ما العلاقة بين دالة غاما والمضروب؟
لكل عدد صحيح موجب n تكون Γ(n) مساوية للمضروب (n−1)!، أي مضروب العدد الذي يسبقه. فمثلًا Γ(5) تساوي 4! أي 24، وبين الأعداد الصحيحة يستمر المنحنى بسلاسة ويعطي قيمًا مثل Γ(2.5).
لماذا لا تُعرَّف دالة غاما عند الصفر والأعداد الصحيحة السالبة؟
لأن للدالة أقطابًا هناك، فتنطلق قيمتها نحو اللانهاية. ترفض الحاسبة القيم 0 و−1 و−2 وما بعدها برسالة واضحة بدل عرض لانهاية لا معنى لها.
هل يمكن حساب غاما لعدد سالب مثل −0.5؟
نعم، ما دام العدد غير صحيح. فتحت 0.5 تطبّق الحاسبة صيغة الانعكاس لأويلر التي تربط Γ(x) بالقيمة Γ(1−x)، ومثال ذلك أن Γ(−0.5) تساوي −2√π.
فيمَ تُستخدم دالة غاما؟
تظهر حيثما يلتقي المضروب بالكميات المتصلة: في ثوابت التطبيع لتوزيعات بيتا وغاما وكاي تربيع في الإحصاء، وفي حجم الكرة في n من الأبعاد، وفي حساب التفاضل والتكامل الكسري.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/gamma-function \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"x":2.5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/gamma-function", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"x": 2.5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/gamma-function",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"x": 2.5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/gamma-function", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"x":2.5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"x":2.5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/gamma-function", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"x": 2.5
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.gamma_function",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
كيف يحسب تقريب Lanczos قيمة Γ(x)
والطريقة العملية القياسية لحسابها عدديًا هي تقريب Lanczos، الذي يستبدل التكامل بمتسلسلة كسرية قصيرة من تسعة معاملات ثابتة حول g = 7. فعندما يكون x ≥ 0.5 تُقيَّم المتسلسلة مباشرة: يُدمج مجموع جزئي مع حدّ أسّي وحدّ أسيّ تصاعدي، وتكون النتيجة دقيقة بنحو خمس عشرة خانة معنوية — أي قريبًا من حدّ الدقة المزدوجة IEEE-754. والحالات الوحيدة التي تفشل فيها الدالة حقًّا هي الأقطاب عند الصفر والأعداد الصحيحة السالبة، حيث يتلاشى sin(πx)؛ وتكتشف الدالة الصرفة تلك المدخلات مسبقًا وتُطلق خطأ invalid_input برسالة إنجليزية ثابتة بدلًا من إرجاع Infinity أو NaN.
المدخلات والمخرجات وعقد التقريب
والوسائط الموجبة الكبيرة جدًا تتجاوز نطاق الدقة المزدوجة (فقيمة Γ(172) قريبة أصلًا من الحدّ)، وفي تلك الحالة تُبلغ الدالة عن خطأ نطاق صريح بدلًا من إرجاع Infinity بصمت. وتستخدم رسائل الخطأ عبارات ثابتة مثل finite real number و non-positive integers لتتمكن الاختبارات الآلية من مطابقتها عبر الإصدارات. المدخل حقل واحد مطلوب هو x، وهو عدد حقيقي منتهٍ؛ وتُقبل أيضًا الأسماء البديلة value و z لتسهيل ربط حقول النماذج والنصوص البرمجية. أما القيم المفقودة أو غير العددية أو اللانهائية أو NaN فتُطلق خطأ invalid_input برسالة تذكر اسم الحقل، وكذلك الأعداد الصحيحة غير الموجبة التي تُعدّ أقطابًا للدالة. ويُعيد الحمولة الناجحة الوسيط x ويقدّم gamma، أي القيمة المحسوبة. ولأن الأمثلة المرجعية تقارن المخرجات بايتًا بايتًا ويجب أن تطابق الأداة المجانية واجهة API المدفوعة تمامًا، فإن النتيجة تُقرَّب إلى عشر خانات عشرية بعقد ثابت — التقريب نفسه مطبَّق في المتصفح وعلى الحافة. وهذا التقريب لا يُخفي شيئًا جوهريًا: فخطأ Lanczos لمجموعة المعاملات هذه أصغر بمراتب من الخانة العشرية العاشرة للوسائط المعتدلة.
حالات الاستخدام والحالات الحدية وملاحظات التكامل
تظهر دالة غاما أينما التقت المضروبات بالكميات المستمرة: في توزيعَي beta و chi-square في الإحصاء، وفي حجم الكرة ذات الأبعاد n في الهندسة، وفي حساب التفاضل الكسري، وفي المتطابقات التوافقية مثل Γ(0.5) = √π. ويمكن لطالب الإحصاء أن يتحقق من أن Γ(5) = 24، وأن يؤكد القيم عند أنصاف الأعداد الصحيحة مثل Γ(2.5) = 1.3293403882، وأن يستكشف الأعداد السالبة غير الصحيحة مثل Γ(−0.5) = −2√π دون تثبيت SciPy أو أي نظام جبر حاسوبي. وللتكامل، تُشغّل دالة solve الصرفة نفسها كلًّا من الأداة المجانية في المتصفح ونقطة نهاية API المدفوعة، فيمكن للنصوص البرمجية الاعتماد على مخرجات رقمية متطابقة في المسارين؛ أما التجهيزات المرجعية في دليل الأمثلة فتجمّد حالتَي النجاح والخطأ القياسيتين. ويعني التصنيف Tier A أن الحساب نفسه يعمل كليًا على الجهاز عبر محرك التحليل — فلا يتصل بالشبكة إلا غلاف المنصة، ويُطبَّق سعر $0.002 لكل عنصر على مسار API. أما خطوط الأتمتة التي تحتاج ملايين العمليات الحسابية فينبغي أن تستدعي API باعتدال، إذ تُحتسب كل دعوة عنصرًا واحدًا، لكن العقد الحتمي يتيح للمتصل تخزين النتائج مؤقتًا بأمان.
حالات التكامل
الهندسة والنصوص البحثية
احسب أحجام الكرات ذات الأبعاد n وعوامل حساب التفاضل الكسري عبر واجهة API حتمية.
أسئلة تقنية
هل هذه الأداة مجانية؟
نعم. يعمل التصنيف Tier A كليًا في متصفحك دون حساب؛ أما مسار API المُحتسب فيكلف $0.002 لكل عنصر.
ماذا يحدث عند الصفر أو الأعداد الصحيحة السالبة؟
توجد للدالة أقطاب عند تلك النقاط، لذا تُعيد خطأ invalid_input برسالة واضحة بدلًا من Infinity.
هل تتصل بالشبكة؟
لا. يُبقي محرك التحليل الحسابَ على جهازك؛ وتعمل الدالة الصرفة نفسها في المتصفح وعلى API.
من ألّف هذه القدرة؟
ألّفها hedy في ورشة عمل ForHosting KIT.