Calculadora da função gama
Γ(2,5) vale 1,3293403882: a função gama estende o fatorial a todos os números reais, de modo que Γ(5) é igual a 4!, ou seja, 24. Digite qualquer valor real, exceto zero e os inteiros negativos, e receba cerca de quinze algarismos significativos. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- X
- 2,5
- Gama
- 1,3293403882
Calcula a função gama Γ(x), a extensão contínua do fatorial, para qualquer número real x. Usa a aproximação de Lanczos com a fórmula de reflexão para entradas negativas não inteiras, fornecendo cerca de quinze dígitos significativos de precisão. Inteiros não positivos, onde a função gama tem polos, são rejeitados com um erro claro. Gratuita, determinística e privada no seu navegador — sem conta e sem chamada de rede, pois todo o cálculo é executado no dispositivo pelo mecanismo de análise.
Como a aproximação de Lanczos calcula Γ(x)
A função gama generaliza o fatorial: para inteiros positivos, Γ(n) é igual a (n−1)!, e para todos os demais valores ela é definida por uma integral que não tem forma fechada. Para x < 0.5, o algoritmo aplica a fórmula de reflexão de Euler, Γ(x) = π / (sin(πx) · Γ(1−x)), que desloca o argumento para o semiplano direito bem condicionado antes de aplicar a mesma série. Tudo é uma sequência fixa de aritmética de precisão dupla: sem iteração até uma tolerância, sem aleatoriedade, sem data, sem rede.
Entradas, saídas e o contrato de arredondamento
A resposta de sucesso ecoa x e retorna gamma, o valor calculado. Esse arredondamento não oculta nada relevante: o erro de Lanczos para este conjunto de coeficientes é ordens de magnitude menor que a décima casa decimal para argumentos moderados. Argumentos positivos muito grandes estouram a precisão dupla (Γ(172) já está perto do limite) e, nesse caso, a função informa um erro explícito de fora de faixa em vez de retornar Infinity silenciosamente.
As mensagens de erro usam subcadeias estáveis como finite real number e non-positive integers, para que testes automatizados possam reconhecê-las entre versões.
Casos de uso
Estatística e probabilidade
Calcule constantes de normalização das distribuições beta, gama e qui-quadrado sem instalar SciPy.
Lição de casa e ensino
Verifique Γ(n) = (n−1)!, valores de meios inteiros como Γ(2.5) e a fórmula de reflexão com respostas reproduzíveis.
Perguntas frequentes
Qual é a precisão do resultado?
A aproximação de Lanczos com nove coeficientes tem precisão de cerca de quinze dígitos significativos; a saída é arredondada para dez casas decimais, garantindo um contrato estável.
Qual é a relação entre a função gama e o fatorial?
Para um inteiro positivo n, Γ(n) é igual a (n−1)!, o fatorial do número anterior. Assim, Γ(5) é 4!, ou seja, 24. Entre os inteiros a curva continua de forma suave e dá valores como Γ(2,5).
Por que a função gama não existe em zero e nos inteiros negativos?
Porque ali ela tem polos: o valor dispara para o infinito. A calculadora recusa 0, −1, −2 e assim por diante com uma mensagem clara, em vez de mostrar um infinito sem sentido.
Dá para calcular a gama de um número negativo como −0,5?
Dá, desde que ele não seja inteiro. Abaixo de 0,5 a calculadora aplica a fórmula de reflexão de Euler, que liga Γ(x) a Γ(1−x); por exemplo, Γ(−0,5) é igual a −2√π.
Para que serve a função gama?
Ela aparece onde fatoriais encontram grandezas contínuas: nas constantes das distribuições beta, gama e qui-quadrado em estatística, no volume de uma esfera em n dimensões e no cálculo fracionário.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/gamma-function \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"x":2.5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/gamma-function", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"x": 2.5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/gamma-function",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"x": 2.5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/gamma-function", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"x":2.5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"x":2.5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/gamma-function", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"x": 2.5
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.gamma_function",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Como a aproximação de Lanczos calcula Γ(x)
A forma prática padrão de avaliá-la numericamente é a aproximação de Lanczos, que substitui a integral por uma curta expansão racional de nove coeficientes fixos em torno de g = 7. Para x ≥ 0.5, a série é avaliada diretamente: uma soma parcial é combinada com uma potência e um termo exponencial, e o resultado tem precisão de cerca de quinze dígitos significativos — próxima do limite da precisão dupla IEEE-754. As únicas falhas verdadeiras da definição são os polos em zero e nos inteiros negativos, onde sin(πx) se anula; a função pura detecta essas entradas antecipadamente e gera invalid_input com uma mensagem estável em inglês, em vez de retornar Infinity ou NaN.
Entradas, saídas e o contrato de arredondamento
A entrada é um único campo obrigatório, x, um número real finito; os aliases value e z também são aceitos, para que campos de formulário e scripts se vinculem naturalmente. Valores ausentes, não numéricos, infinitos ou NaN geram invalid_input com uma mensagem que nomeia o campo, assim como os inteiros não positivos, que são polos da função.
Casos de uso, casos-limite e notas de integração
A função gama aparece sempre que fatoriais encontram quantidades contínuas: as distribuições beta e qui-quadrado em estatística, o volume de uma esfera n-dimensional em geometria, o cálculo fracionário e identidades combinatórias como Γ(0.5) = √π. Um estudante de estatística pode verificar que Γ(5) = 24, confirmar os valores de meios inteiros como Γ(2.5) = 1.3293403882 e explorar negativos não inteiros como Γ(−0.5) = −2√π sem instalar SciPy nem um sistema de álgebra computacional. O Nível A significa que o cálculo em si é executado inteiramente no dispositivo com o mecanismo de análise — apenas o invólucro da plataforma envolve a rede, e o preço de US$ 0,002 por item se aplica ao caminho da API. Pipelines de automação que precisam de milhões de avaliações ainda devem chamar a API com moderação, pois cada chamada é medida como um item, mas o contrato determinístico permite que os resultados sejam armazenados em cache com segurança pelo chamador.
Casos de integração
Geometria e scripts de pesquisa
Calcule volumes de esferas n-dimensionais e fatores de cálculo fracionário a partir de uma API determinística.
Perguntas técnicas
Esta ferramenta é gratuita?
Sim. O Nível A é executado inteiramente no seu navegador, sem conta; o caminho da API medida custa US$ 0,002 por item.
O que acontece em zero ou em inteiros negativos?
A função gama tem polos nesses pontos, portanto retorna invalid_input com uma mensagem clara em vez de Infinity.
Ela faz chamadas de rede?
Não. O mecanismo de análise mantém o cálculo no dispositivo; a mesma função pura é executada no navegador e na API.
Quem criou esta capacidade?
hedy, no workshop ForHosting KIT.