Calcolatore della funzione gamma
Γ(2,5) vale 1,3293403882: la funzione gamma estende il fattoriale a tutti i numeri reali, quindi Γ(5) è uguale a 4!, cioè 24. Inserisca qualsiasi valore reale tranne lo zero e gli interi negativi e ottenga circa quindici cifre significative. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- X
- 2,5
- Gamma
- 1,3293403882
Valuta la funzione gamma Γ(x), l'estensione continua del fattoriale, per qualsiasi numero reale x. Utilizza l'approssimazione di Lanczos con la formula di riflessione per gli input negativi non interi, garantendo circa quindici cifre significative di precisione. Gli interi non positivi, dove la gamma presenta poli, vengono rifiutati con un errore chiaro. Gratuita, deterministica e privata nel Suo browser — senza account e senza chiamate di rete, poiché l'intero calcolo viene eseguito sul dispositivo tramite il parse engine.
Un fattoriale che funziona anche tra gli interi
Il fattoriale ha senso solo per i numeri interi: 4! è 4 × 3 × 2 × 1. La funzione gamma riempie gli spazi vuoti. Per ogni intero positivo n, Γ(n) è uguale a (n−1)!, quindi Γ(5) fa 24, ma la curva passa senza salti anche per tutti i valori intermedi, come Γ(2,5) = 1,3293403882, e perfino per Γ(0,5), che è la radice quadrata di π. Lontano dagli interi è definita da un integrale senza forma chiusa, ed è per questo che serve una calcolatrice. In statistica è indispensabile: le distribuzioni beta, gamma e chi quadrato la usano perché le loro probabilità sommino a uno.
Come si ottiene il valore e gli errori più comuni
Invece di calcolare l'integrale, la calcolatrice usa l'approssimazione di Lanczos, una formula breve basata su nove coefficienti fissi che dà circa quindici cifre significative. Per i valori sotto 0,5 applica prima la formula di riflessione di Eulero, che sposta la domanda su 1 − x, dove la formula si comporta bene. Il risultato viene arrotondato a dieci decimali. L'errore più frequente è lo slittamento di uno: Γ(n) è il fattoriale di n − 1, non di n. Il secondo è aspettarsi un valore in zero o in un intero negativo, dove non esiste. E gli argomenti molto grandi superano ciò che l'aritmetica ordinaria può contenere: Γ(172) è già vicino al limite, quindi i valori più grandi vengono segnalati come fuori intervallo.
Come l'approssimazione di Lanczos calcola Γ(x)
La funzione gamma generalizza il fattoriale: per gli interi positivi, Γ(n) equivale a (n−1)!, mentre per tutti gli altri valori è definita da un integrale che non ammette forma chiusa. Per x < 0.5 l'algoritmo applica la formula di riflessione di Eulero, Γ(x) = π / (sin(πx) · Γ(1−x)), che sposta l'argomento nel semipiano destro ben condizionato prima di applicare la stessa serie. Tutto consiste in una sequenza fissa di operazioni aritmetiche in doppia precisione: nessuna iterazione verso una tolleranza, nessuna casualità, nessuna data, nessuna rete.
Casi d'uso
Statistica e probabilità
Valuti le costanti di normalizzazione delle distribuzioni beta, gamma e chi-quadro senza installare SciPy.
Compiti e didattica
Verifichi Γ(n) = (n−1)!, i valori semi-interi come Γ(2.5) e la formula di riflessione con risposte riproducibili.
Domande frequenti
Quanto è accurato il risultato?
L'approssimazione di Lanczos con nove coefficienti è accurata fino a circa quindici cifre significative; l'output viene arrotondato a dieci cifre decimali per un contratto stabile.
Che rapporto c'è tra la funzione gamma e il fattoriale?
Per un intero positivo n, Γ(n) è uguale a (n−1)!, il fattoriale del numero precedente. Così Γ(5) è 4!, cioè 24. Tra un intero e l'altro la curva prosegue senza salti e dà valori come Γ(2,5).
Perché la funzione gamma non è definita in zero e negli interi negativi?
Perché lì ha dei poli: il suo valore schizza verso l'infinito. La calcolatrice rifiuta 0, −1, −2 e così via con un messaggio chiaro, invece di mostrare un infinito privo di senso.
Si può calcolare la gamma di un numero negativo come −0,5?
Sì, purché non sia un intero. Sotto 0,5 la calcolatrice applica la formula di riflessione di Eulero, che collega Γ(x) a Γ(1−x); per esempio, Γ(−0,5) è uguale a −2√π.
A cosa serve la funzione gamma?
Compare ovunque i fattoriali incontrano grandezze continue: nelle costanti delle distribuzioni beta, gamma e chi quadrato in statistica, nel volume di una sfera in n dimensioni e nel calcolo frazionario.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
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-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"x":2.5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/gamma-function", {
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"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
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req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/gamma-function", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"x": 2.5
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.gamma_function",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Come l'approssimazione di Lanczos calcola Γ(x)
Il metodo pratico standard per valutarla numericamente è l'approssimazione di Lanczos, che sostituisce l'integrale con una breve espansione razionale di nove coefficienti fissi attorno a g = 7. Per x ≥ 0.5 la serie viene valutata direttamente: una somma parziale viene combinata con una potenza e un termine esponenziale, e il risultato è accurato fino a circa quindici cifre significative — vicino al limite della doppia precisione IEEE-754. Gli unici veri punti di fallimento della definizione sono i poli in zero e negli interi negativi, dove sin(πx) si annulla; la funzione pura rileva questi input in anticipo e solleva invalid_input con un messaggio stabile in inglese, invece di restituire Infinity o NaN.
Input, output e il contratto di arrotondamento
Tale arrotondamento non nasconde nulla di rilevante: l'errore di Lanczos per questo insieme di coefficienti è di ordini di grandezza inferiore alla decima cifra decimale per argomenti moderati. Argomenti positivi molto grandi eccedono la doppia precisione (Γ(172) è già vicino al limite) e, in tal caso, la funzione segnala un esplicito errore di valore fuori intervallo anziché restituire silenziosamente Infinity. I messaggi di errore usano sottostringhe stabili come finite real number e non-positive integers, così che i test automatizzati possano riconoscerli tra una release e l'altra. L'input è un singolo campo obbligatorio, x, un numero reale finito; sono accettati anche gli alias value e z, così che campi di moduli e script possano collegarsi in modo naturale. Valori mancanti, non numerici, infiniti o NaN sollevano invalid_input con un messaggio che nomina il campo, e lo stesso vale per gli interi non positivi, che sono poli della funzione. Il payload di successo riporta x e restituisce gamma, il valore calcolato.
Casi d'uso, casi limite e note di integrazione
La funzione gamma compare ovunque i fattoriali incontrino quantità continue: le distribuzioni beta e chi-quadro in statistica, il volume di una sfera n-dimensionale in geometria, il calcolo frazionario e identità combinatorie come Γ(0.5) = √π. Uno studente di statistica può verificare che Γ(5) = 24, confermare i valori semi-interi come Γ(2.5) = 1.3293403882 ed esplorare i negativi non interi come Γ(−0.5) = −2√π senza installare SciPy o un sistema di algebra computazionale. Il Tier A significa che il calcolo stesso viene eseguito interamente sul dispositivo con il parse engine — solo il wrapper della piattaforma coinvolge la rete, e il prezzo di $0.002 per elemento si applica al percorso API. Le pipeline di automazione che necessitano di milioni di valutazioni dovrebbero comunque chiamare l'API con moderazione, poiché ogni chiamata viene conteggiata come un elemento, ma il contratto deterministico consente al chiamante di memorizzare i risultati in cache in sicurezza.
Casi di integrazione
Geometria e script di ricerca
Calcoli volumi di sfere n-dimensionali e fattori del calcolo frazionario tramite un'API deterministica.
Domande tecniche
È gratuita?
Sì. Il Tier A viene eseguito interamente nel Suo browser senza account; il percorso API conteggiato costa $0.002 per elemento.
Cosa succede in zero o negli interi negativi?
La gamma presenta poli in quei punti, quindi la funzione restituisce invalid_input con un messaggio chiaro anziché Infinity.
Effettua chiamate di rete?
No. Il parse engine mantiene il calcolo sul dispositivo; la stessa funzione pura viene eseguita nel browser e sull'API.
Chi ha realizzato questa capability?
hedy, nel workshop di ForHosting KIT.