Parabel-Rechner
Bei y = x² liegt der Scheitel im Ursprung, der Brennpunkt 0,25 darüber und die Leitlinie 0,25 darunter. Geben Sie a, b und c ein und erhalten Sie Scheitel, Brennpunkt, Leitlinie, Achse und Öffnungsrichtung der Kurve. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- A
- 1
- B
- 0
- C
- 0
- Gleichung
- y = x^2
- Brennweite
- 0,25
- Öffnet
- up
Bei einer quadratischen Gleichung y gleich a x zum Quadrat plus b x plus c mit von null verschiedenem führendem Koeffizienten ist eine eindeutige aufrechte oder umgekehrte Parabel in der kartesischen Ebene bestimmt. Dieser Rechner nimmt die drei endlichen Koeffizienten a, b und c entgegen, lehnt a gleich null und nichtnumerische Eingaben ab und liefert Scheitelpunkt, Brennpunkt, Leitliniengleichung, Symmetrieachse, Brennweite, Öffnungsrichtung und eine kompakte Gleichung als Zeichenkette.
Wie Scheitel, Brennpunkt, Leitlinie und Achse aus y = ax² + bx + c folgen
Schreiben Sie die Parabel als y gleich a x zum Quadrat plus b x plus c mit a ungleich null. Quadratische Ergänzung oder die Scheitelpunktformel liefert die Symmetrieachse x gleich minus b durch zwei a, sodass die Abszisse des Scheitels h derselbe Wert ist. Die Ordinate des Scheitels k erhält man, indem man h in die ursprüngliche Funktion einsetzt, oder äquivalent k gleich c minus b zum Quadrat durch vier a.
Die geometrische Definition einer Parabel als Menge der Punkte, die von einem Brennpunkt und einer Leitlinie gleich weit entfernt sind, impliziert einen Brennweitenparameter p gleich eins durch vier a für diese vertikale Orientierung: Der Brennpunkt liegt im Punkt (h, k plus p) und die Leitlinie ist die horizontale Gerade y gleich k minus p. Ist a positiv, öffnet sich die Parabel nach oben und der Brennpunkt sitzt oberhalb des Scheitels; ist a negativ, öffnet sie sich nach unten und der Brennpunkt sitzt unterhalb des Scheitels.
Klassische Unterrichtschecks umfassen y gleich x zum Quadrat, mit Scheitel und Brennpunkt im Ursprung bzw. (0, ein Viertel) und Leitlinie y gleich minus ein Viertel, sowie y gleich x zum Quadrat minus vier x plus drei, mit Scheitel in (2, minus eins). Da der Pfad nur Multiplikation, Division, Addition und etwas Formatierung nutzt, ist er deterministisch, O(1) und frei von iterativen Lösern oder symbolischen Bibliotheken.
Wo Scheitel und Fokus-Leitlinien-Geometrie in der Praxis auftreten
Kurse der analytischen Geometrie und des Precalculus in Schule und Hochschule verlangen ständig, Scheitel, Brennpunkt, Leitlinie und Symmetrieachse einer vertikalen Parabel in Standard-Polynomform zu finden; ein verlässlicher Rechner mit strenger a-gleich-null-Prüfung beschleunigt die Hausaufgabenkorrektur und beseitigt Tabellenkalkulationsfehler, bei denen jemand durch einen nullten führenden Koeffizienten teilt oder horizontale und vertikale Orientierung verwechselt.
Physik- und Ingenieur-Tutorials zu Wurfbahnen, reflektierender Optik und Parabolantennen nutzen dieselben Fokus-Leitlinien-Relationen, wenn bereits ein quadratisches Modell von y in x vorliegt; das Wiederherstellen von Brennpunkt und Leitlinie aus a, b und c hält Laborprotokolle und Büroskripte im Einklang. Spiel- und Grafikdemos, die Bahnen als quadratische Koeffizienten speichern, brauchen den Scheitel für die Gipfelhöhe und die Achse für Symmetrie-Annotationen, ohne einen vollen symbolischen Algebra-Stack aufzubauen.
Wenn Sie später eine horizontale Parabel x gleich a y zum Quadrat plus b y plus c, eine allgemeine Kegelschnitt-Klassifikation oder eine Anpassung durch viele Stichprobenpunkte brauchen, behandeln Sie diese als getrennte Suchabsichten statt diese vertikale Parabel-Landing zu überladen.
Anwendungsfälle
Optik- und Wurfgeschoss-Tutorials
Aus einem quadratischen Modell Brennpunkt und Leitlinie für Diagramme, Laborskizzen und Lehrdemos wiederherstellen.
Häufige Fragen
Was passiert, wenn a gleich null ist?
Ist a null, ist der Graph eine Gerade, keine Parabel; ein von null verschiedener quadratischer Koeffizient ist erforderlich.
Werden horizontale Parabeln unterstützt?
Nein. Diese Seite deckt nur die vertikale Form y = ax² + bx + c ab. Horizontale Parabeln x = ay² + by + c sind eine andere Suchabsicht.
Was, wenn ein Koeffizient keine Zahl ist?
Fehlende Felder, leere Zeichenketten, nichtnumerischer Text, NaN und Infinity werden alle abgelehnt.
Wie finde ich den Scheitel von y = x² − 4x + 3?
Der Scheitel liegt bei (2, −1). Die Symmetrieachse ist die senkrechte Gerade, auf der x gleich minus b durch zwei a ist, hier 2; setzen Sie 2 in die Gleichung ein, erhalten Sie −1.
Woran erkenne ich, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist?
Am Vorzeichen von a. Ist a positiv, öffnet sich die Parabel nach oben und der Brennpunkt liegt über dem Scheitel; ist a negativ, öffnet sie sich nach unten und der Brennpunkt liegt darunter.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/parabola \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":0,"c":0}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/parabola", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": 0,
"c": 0
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/parabola",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": 0,
"c": 0
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/parabola", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":0,"c":0}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":0,"c":0}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/parabola", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"a": 1,
"b": 0,
"c": 0
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.parabola",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Fehlende Felder, leere Zeichenketten, nichtnumerischer Text, NaN, Infinity und ein nullter quadratischer Koeffizient werden mit einem klaren invalid_input-Fehler abgelehnt statt mit stiller Division durch null oder einer als Parabel fehlbeschrifteten Geraden. Keine Netzwerkanrufe, keine Zufallsstichproben und keine Gleitkomma-Überraschungen jenseits gewöhnlicher IEEE-754-Arithmetik auf den drei Zahlen, die Sie bereitstellen.
Wie Scheitel, Brennpunkt, Leitlinie und Achse aus y = ax² + bx + c folgen
Große Koeffizienten können den IEEE-754-Bereich dennoch überlaufen; nichtendliche Zwischenergebnisse scheitern mit einer klaren Überlaufmeldung statt Infinity in JSON zurückzugeben.
Was Sie senden und was Sie zurückerhalten
Geben Sie drei erforderliche endliche Zahlen an: a, den quadratischen Koeffizienten, der ungleich null sein muss; b, den linearen Koeffizienten; und c, das absolute Glied. Beispielchecks: a eins, b null, c null liefert Scheitel im Ursprung, Brennpunkt bei null und ein Viertel, und Leitlinie y gleich minus ein Viertel; a null wird abgelehnt. Verdrahten Sie das kostenlose Browser-Tool für schnelle Plausibilitätschecks und rufen Sie denselben Vertrag aus Skripten auf, wenn Sie Massenauswertung brauchen, ohne die numerische Sperre in jeder Sprache neu zu implementieren. Fehlende Felder, leere Zeichenketten, nichtnumerischer Text, NaN und Infinity werden mit invalid_input abgelehnt und nicht berechnet. Ist a null, sodass der Graph eine Gerade und keine Parabel ist, scheitert die Anfrage ebenfalls mit invalid_input und dem Hinweis, dass ein von null verschiedener quadratischer Koeffizient erforderlich ist. Bei Erfolg gibt die JSON-Antwort die drei normalisierten Koeffizienten zurück, equation als kompakte Zeichenkette wie y gleich x zum Quadrat plus drei, vertex und focus als Objekte mit x und y, directrix mit einem y-Wert und einer Gleichungstext, axis_of_symmetry mit einem x-Wert und einer Gleichungstext, focal_length als vorzeichenbehafteten Parameter p gleich eins durch vier a, und opens auf up oder down je nach Vorzeichen von a. Der Vertrag ist stabiles JSON, geeignet für Unit-Tests, Hausaufgabenprüfer und Batch-Pipelines, die Koeffiziententripel auf Parabelgeometrie abbilden. Der API-Preis ist die veröffentlichte Basis von $0.002 pro erfolgreichem Element.
Wo Scheitel und Fokus-Leitlinien-Geometrie in der Praxis auftreten
Da diese Fähigkeit eine reine parse-Engine ist, wird fehlgeschlagene Validierung nicht berechnet und erfolgreiche Läufe bleiben bei $0.002 pro Element.
Integrationsbeispiele
Hausaufgaben- und Prüfungskontrollen
Wandeln Sie y = ax² + bx + c in Scheitel, Brennpunkt, Leitlinie und Achse um und lehnen Sie a = 0 mit klarem Fehler ab.
Deterministische Geometrie-Fixtures
Stabile Scheitel- und Brennpunktkoordinaten für Unit-Tests und Unterrichts-Antwortschlüssel erzeugen.
Technische Fragen
Was liefert dieser Parabel-Rechner?
Scheitel (x, y), Brennpunkt (x, y), Leitliniengleichung y = k − p, Symmetrieachse x = h, Brennweite p = 1/(4a), Öffnungsrichtung oben oder unten und eine kompakte Gleichung als Zeichenkette.
Was kostet es?
Das Browser-Tool ist kostenlos und läuft lokal. API-Anfragen nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Element; ungültige Eingaben werden nicht berechnet.