Schnitt zweier Kreise: Punkte aus Mittelpunkten und Radien, kostenlos
Finden Sie heraus, wo sich zwei Kreise schneiden: Kreise mit Radius 5 um (0 | 0) und (8 | 0) treffen sich in (4 | 3) und (4 | -3). Berühren sie sich nur, erhalten Sie einen Punkt, treffen sie sich nicht, eine klare Meldung. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- X1
- 0
- Y1
- 0
- R1
- 5
- X2
- 8
- Y2
- 0
- R2
- 5
- Anzahl
- 2
- Beziehung
- intersect
- D
- 8
Gegeben sind zwei Kreise in der kartesischen Ebene; ihr Schnitt ist die Menge der Punkte, die auf beiden Kreislinien zugleich liegen.
Wie sich zwei Kreise in der Ebene treffen
Sei d der euklidische Abstand der Mittelpunkte. Geometrie-Lehrbücher klassifizieren die Konfiguration, indem sie d mit der Summe und der absoluten Differenz der Radien vergleichen. Wenn d strikt kleiner als die absolute Differenz der Radien ist, liegt der kleinere Kreis vollständig im größeren, ohne ihn zu berühren.
Wenn d gleich der Summe ist, berühren sie sich außen in genau einem Punkt; wenn d gleich der absoluten Differenz ist, berühren sie sich innen in genau einem Punkt. Wenn die absolute Differenz strikt kleiner als d ist und d strikt kleiner als die Summe, schneiden sich die Kreise in genau zwei Punkten, die symmetrisch zur Mittelpunktsgeraden liegen. Verschiebt man diesen Fußpunkt um plus oder minus h senkrecht zur Mittelpunktsgeraden, ergeben sich die beiden Schnittpunkte beziehungsweise ein einzelner Punkt, wenn h null ist.
Da der Weg nach den geometrischen Prüfungen nur Arithmetik und eine Quadratwurzel verwendet, ist er deterministisch, O(1) und frei von iterativen Solvern oder trigonometrischen Bibliotheken. Zusammenfallende Mittelpunkte mit gleichen Radien hätten unendlich viele Lösungen und werden abgelehnt statt approximiert.
Wo der Kreis–Kreis-Schnitt in der Praxis vorkommt
Kurse der analytischen Geometrie an Schulen und Hochschulen verlangen ständig, die gemeinsamen Punkte zweier gegebener Kreise zu finden; ein verlässlicher Rechner mit strikter Konfigurationsprüfung beschleunigt die Korrektur von Hausaufgaben und beseitigt Tabellenkalkulationsfehler, bei denen jemand den Enthaltungsfall vergisst oder das Vorzeichen der senkrechten Verschiebung verwechselt. Multilaterations-Skizzen und einfache Vermessung bestimmen eine Station durch den Schnitt zweier Distanzbögen von bekannten Kontrollpunkten; die Rückgabe beider Kandidaten in deterministischer Reihenfolge lässt die Bediener die physikalisch sinnvolle Seite wählen, ohne die Algebra per Hand neu zu rechnen.
Wenn Sie später Kreis–Geraden-Schnitte, Kugelschnitte in drei Dimensionen oder Kreisanpassung aus Punktproben benötigen, behandeln Sie diese als separate Suchintentionen, statt diese Zwei-Kreise-Seite zu überladen.
Anwendungsfälle
Prüfung von Hausaufgaben und Klausuren
Berechnen Sie die reellen Schnittpunkte zweier Kreise aus Mittelpunkten und Radien oder scheitern Sie klar, wenn sie sich nicht treffen.
Vermessungs- und Multilaterations-Skizzen
Schneiden Sie zwei Distanzbögen von bekannten Stationen, um Kandidatenpositionen mit deterministischer Punktreihenfolge zu gewinnen.
Bedingungshelfer für CAD und Spiele
Lösen Sie zwei Kreisbedingungen oder Kontaktpunkte kreisförmiger Hitboxen, ohne die Potenzgeraden-Mathematik in jedem Werkzeug neu zu implementieren.
Häufige Fragen
Wie erkenne ich, ob sich zwei Kreise schneiden?
Vergleichen Sie den Abstand der Mittelpunkte mit der Summe und der Differenz der Radien. Liegt er echt dazwischen, gibt es zwei Schnittpunkte; ist er gleich einem der beiden Werte, berühren sich die Kreise in einem Punkt, etwa zwei Kreise mit Radius 5 im Abstand 10.
Was passiert, wenn sich die Kreise nicht treffen?
Liegen sie zu weit auseinander oder liegt einer im anderen, ohne ihn zu berühren, meldet der Rechner das klar, statt eine leere Liste auszugeben, die wie eine Antwort aussieht.
Was ist, wenn beide Kreise identisch sind?
Zwei Kreise mit gleichem Mittelpunkt und gleichem Radius haben alle Punkte gemeinsam, daher gibt es keine endliche Antwort. Dieser Fall wird abgelehnt, statt ihn anzunähern.
Kann ich damit einen Punkt aus zwei Entfernungen bestimmen?
Ja. Ziehen Sie um jede bekannte Station einen Kreis mit der gemessenen Entfernung als Radius; der Schnitt liefert die möglichen Positionen in fester Reihenfolge, damit Sie die richtige Seite wählen.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/two-circles-intersection \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"x1":0,"y1":0,"r1":5,"x2":8,"y2":0,"r2":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/two-circles-intersection", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"x1": 0,
"y1": 0,
"r1": 5,
"x2": 8,
"y2": 0,
"r2": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/two-circles-intersection",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"x1": 0,
"y1": 0,
"r1": 5,
"x2": 8,
"y2": 0,
"r2": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/two-circles-intersection", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"x1":0,"y1":0,"r1":5,"x2":8,"y2":0,"r2":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"x1":0,"y1":0,"r1":5,"x2":8,"y2":0,"r2":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/two-circles-intersection", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"x1": 0,
"y1": 0,
"r1": 5,
"x2": 8,
"y2": 0,
"r2": 5
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.two_circles_intersection",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Fehlende Felder, nicht positive Radien, getrennte Kreise und strikte Enthaltung ohne Berührung werden mit einem klaren invalid_input-Fehler abgelehnt statt mit einer leeren Liste, die wie eine erfolgreiche leere Lösung aussieht. Keine Netzwerkaufrufe, kein Zufallssampling und keine Gleitkomma-Überraschungen über die gewöhnliche IEEE-754-Arithmetik auf den sechs von Ihnen angegebenen Zahlen hinaus.
Wie sich zwei Kreise in der Ebene treffen
Sehr große Koordinaten können den IEEE-754-Double-Bereich dennoch überschreiten; nicht endliche Zwischenwerte schlagen mit einer klaren Meldung fehl, statt Infinity im JSON zurückzugeben.
Was Sie senden und was Sie zurückerhalten
Nach dem Parsen berechnet der Dienst den Mittelpunktsabstand d, vergleicht ihn mit der Summe und der absoluten Differenz der Radien und schlägt entweder mit einer expliziten Meldung über Getrenntheit oder Enthaltung fehl oder konstruiert den Fußpunkt der Potenzgeraden und die halbe Sehne. Beispielprüfungen: Mittelpunkte bei (0, 0) und (8, 0) mit gleichen Radien fünf ergeben zwei Punkte nahe (4, plus oder minus drei); gleiche Radien fünf mit zehn Einheiten auseinanderliegenden Mittelpunkten berühren sich außen im Mittelpunkt; Mittelpunkte, die weit weiter auseinanderliegen als die Radiensumme, schlagen mit dem Hinweis auf getrennte Kreise fehl. Nutzen Sie das kostenlose Browser-Tool für schnelle Plausibilitätsprüfungen und rufen Sie dann denselben Vertrag aus Skripten auf, wenn Sie Massenauswertung benötigen, ohne die numerischen Prüfungen in jeder Sprache neu zu implementieren. Fehlende Felder, leere Zeichenketten, nicht numerischer Text, NaN, Infinity und nicht positive Radien werden mit invalid_input abgelehnt und nicht berechnet. Im Erfolgsfall gibt die JSON-Antwort points als Array aus einem oder zwei Objekten mit für stabile Serialisierung gerundeten x und y zurück, count gleich der Array-Länge, relation auf intersect, tangent_external oder tangent_internal gesetzt, den Abstand d, das Echo der sechs normalisierten Eingaben und method auf two_circles_radical_axis, damit Logs und Lehr-UIs den Algorithmus dokumentieren können. Der Vertrag ist stabiles JSON, geeignet für Unit-Tests, Hausaufgaben-Prüfer und Batch-Pipelines, die Kreispaare auf Schnittpunkte abbilden. Der API-Preis ist die veröffentlichte Basis von $0.002 pro erfolgreichem Element.
Wo der Kreis–Kreis-Schnitt in der Praxis vorkommt
Da diese Fähigkeit eine reine parse-Engine ist, wird eine fehlgeschlagene Validierung nicht berechnet, und erfolgreiche Läufe bleiben bei $0.002 pro Element.
Technische Fragen
Welche Formel verwendet dieser Rechner?
Die Potenzgeraden-Konstruktion: Abstand d der Mittelpunkte, Versatz a = (r1² − r2² + d²)/(2d), halbe Sehne h = √(r1² − a²), dann ± senkrechte Versätze. Die Antwort enthält method: "two_circles_radical_axis".
Was passiert, wenn sich die Kreise nicht schneiden?
Wenn sie getrennt sind (d größer als die Radiensumme) oder einer den anderen vollständig ohne Berührung enthält (d kleiner als |r1 − r2|), schlägt die Anfrage mit invalid_input und einer Meldung fehl, die die Konfiguration beschreibt.
Gelten berührende Kreise als Erfolg?
Ja. Äußere und innere Berührung geben einen einzelnen Punkt mit relation tangent_external oder tangent_internal zurück.
Was, wenn beide Kreise identisch sind?
Gleicher Mittelpunkt und gleiche Radien ergeben unendlich viele Schnittpunkte; dieser Fall wird mit invalid_input abgelehnt, statt eine endliche Liste zu erfinden.
Was kostet das?
Das Browser-Tool ist kostenlos und läuft lokal. API-Anfragen nutzen das vorausbezahlte KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Element; ungültige Eingaben werden nicht berechnet.