Fehlerfunktion-Rechner

Der Fehlerfunktion-Rechner wertet die Gaußsche Fehlerfunktion erf(x) aus: das Integral der gaußschen Glockenkurve von 0 bis x, so skaliert, dass das Ergebnis stets zwischen -1 und 1 liegt. Sie senden eine einzige reelle Zahl und erhalten erf(x) zusammen mit der komplementären Fehlerfunktion erfc(x) = 1 - erf(x), berechnet mit einer rationalen Näherung, deren Genauigkeit bei 1.5e-7 liegt. Es ist die Funktion hinter Normalverteilungswahrscheinlichkeiten, Wärmediffusion und Messunsicherheit — hier ausgewertet in einem einzigen deterministischen Schritt, ohne Konto, ohne Wartezeit und ohne dass irgendetwas gespeichert wird.

Was die Fehlerfunktion tatsächlich misst

Die Gaußsche Fehlerfunktion ist definiert als erf(x) = (2/√π) mal dem Integral von e^(-t²) von 0 bis x. Dieses Integral hat keine geschlossene Form in elementaren Funktionen, und genau deshalb existiert erf als benannte Funktion: Statistiker, Physiker und Ingenieure begegneten ihr so häufig, dass sie sich ihren eigenen Buchstaben verdiente. Ihr Graph ist eine S-Kurve, die bei erf(0) = 0 beginnt, sanft ansteigt und sich mit wachsendem x gegen 1 abflacht; sie ist eine ungerade Funktion, also gilt erf(-x) = -erf(x), und erf(-1) ≈ -0.8427 spiegelt erf(1) ≈ 0.8427.

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung wandelt sie Standardabweichungen in Konfidenz um: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein normalverteilter Wert innerhalb von x Standardabweichungen vom Mittelwert liegt, beträgt erf(x/√2), und darum ist erf(1/√2) ≈ 0.6827 die berühmten 68 Prozent der Glockenkurve. In Wärmeübertragung und Diffusion beschreibt sie, wie sich eine Temperaturfront oder ein Konzentrationsgradient über die Zeit ausbreitet. Dieser Endpunkt wertet die Funktion für einen einzigen reellen Wert aus und liefert das Ergebnis zwischen -1 und 1, dazu erfc, die komplementäre Fehlerfunktion, die den verbleibenden Rand misst.

Wie die Näherung funktioniert

Da sich das definierende Integral nicht mit elementaren Funktionen schreiben lässt, ist jede Implementierung von erf eine Näherung, und die ehrliche Frage lautet, wie gut sie ist. Ihr absoluter Fehler beträgt höchstens 1.5e-7 für jede reelle Eingabe — weit unterhalb dessen, was ein angezeigtes Ergebnis oder eine nachgelagerte Wahrscheinlichkeitsrechnung je bemerken würde.

Die Implementierung nutzt die ungerade Symmetrie der Funktion, sodass das Polynom nur auf einem nichtnegativen Argument ausgewertet wird, und stellt das Vorzeichen am Ende wieder her; dadurch bleibt die Näherung exakt in dem Bereich, für den ihre Koeffizienten angepasst wurden. Die Berechnung ist eine feste Folge von Gleitkommaoperationen mit einer Exponentialfunktion: keine Schleifen, keine Konvergenzschwellen, kein Zufall und keine Uhr, sodass dieselbe Eingabe stets dieselbe Ausgabe erzeugt. Die Ergebnisse werden auf 12 Dezimalstellen gerundet, deutlich oberhalb der Fehlerschranke der Näherung selbst, sodass nichts Wesentliches verloren geht.