Calculadora da função de erro
erf(1) vale 0,842700689748 e erfc(1) vale 0,157299310252: os dois números de que você precisa para probabilidades normais, difusão de calor e incerteza de medição. Digite qualquer valor real e receba os dois com erro abaixo de 1,5e-7. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- X
- 1
- Erf
- 0.842700689748
- Valor de erf
- 0,8427006897
- Erfc
- 0.157299310252
- Valor de erfc
- 0,1572993103
A calculadora da função de erro avalia a função de erro de Gauss erf(x): a integral da curva de sino gaussiana de 0 até x, escalonada para que o resultado fique sempre entre -1 e 1. Você envia um único número real e recebe erf(x) junto com a função de erro complementar erfc(x) = 1 - erf(x), calculada com uma aproximação racional com precisão de 1.5e-7. É a função por trás das probabilidades normais, da difusão de calor e da incerteza de medição, avaliada em um único passo determinístico.
O que a função de erro realmente mede
A função de erro de Gauss é definida como erf(x) = (2/√π) vezes a integral de e^(-t²) de 0 até x. Essa integral não tem forma fechada em funções elementares, e é exatamente por isso que erf existe como função com nome próprio: estatísticos, físicos e engenheiros a encontravam com tanta frequência que ela acabou ganhando sua própria letra.
Seu gráfico é uma curva em S que parte de erf(0) = 0, sobe suavemente e se achata em direção a 1 conforme x cresce; é uma função ímpar, de modo que erf(-x) = -erf(x), e erf(-1) ≈ -0.8427 é o espelho de erf(1) ≈ 0.8427. Em probabilidade, ela converte desvios padrão em confiança: a probabilidade de um valor normal cair dentro de x desvios padrão da média é erf(x/√2), e é por isso que erf(1/√2) ≈ 0.6827 é o famoso 68 por cento da curva de sino.
Em transferência de calor e difusão, descreve como uma frente de temperatura ou um gradiente de concentração se espalha ao longo do tempo.
Como a aproximação funciona
Como a integral que a define não pode ser escrita com funções elementares, toda implementação de erf é uma aproximação, e a pergunta honesta é quão boa ela é. Seu erro absoluto é de no máximo 1.5e-7 para qualquer entrada real — muito abaixo do que qualquer resultado exibido ou cálculo de probabilidade posterior vai perceber.
A implementação aproveita a simetria ímpar da função para que o polinômio seja avaliado apenas sobre um argumento não negativo e depois restaura o sinal no final, o que mantém a aproximação exatamente no domínio para o qual seus coeficientes foram ajustados. O cálculo é uma sequência fixa de operações de ponto flutuante com uma exponencial: sem laços, sem limiares de convergência, sem aleatoriedade e sem relógio, de modo que a mesma entrada sempre produz a mesma saída.
Os resultados são arredondados para 12 casas decimais, confortavelmente acima do próprio piso de erro da aproximação, então nada relevante é descartado.
Casos de uso
Converter escores z em confiança
Avalie erf(x/√2) para transformar um número de desvios padrão na massa de probabilidade dentro da faixa central de uma distribuição normal.
Conferir um modelo de difusão ou calor
Verifique uma simulação contra a solução analítica com erf que governa a difusão unidimensional a partir de uma fronteira em degrau.
Validar outra implementação
Envie um valor de referência e compare com um resultado determinístico com precisão de 1.5e-7, com erfc incluída para conferir as caudas.
Perguntas frequentes
Quanto custa?
Também é grátis executar no seu navegador nesta página, com o mesmo código e o mesmo resultado.
Qual é a precisão do resultado?
A aproximação é a 7.1.26 de Abramowitz e Stegun, cujo erro absoluto é de no máximo 1.5e-7 para qualquer entrada real. Os resultados são arredondados para 12 casas decimais.
Que entrada ela aceita?
Um único número real finito no campo x. Strings numéricas como "1.5" também funcionam.
Qual é o intervalo da saída?
Sempre entre -1 e 1. A função é ímpar, então erf(-x) = -erf(x), e ela se aproxima de ±1 sem jamais ultrapassá-lo conforme |x| cresce.
O que é erfc e por que está incluída?
erfc(x) = 1 - erf(x) é a função de erro complementar, que mede a massa de probabilidade na cauda. Ela é retornada junto com erf para que cálculos de cauda não precisem de uma segunda chamada.
Como obtenho uma probabilidade normal a partir de erf?
A probabilidade de uma variável normal padrão cair entre -z e z é erf(z/√2).
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/error-function \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"x":1}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/error-function", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"x": 1
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/error-function",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"x": 1
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/error-function", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"x":1}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"x":1}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/error-function", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"x": 1
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.error_function",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
O que a função de erro realmente mede
Este endpoint avalia a função para um único valor real e retorna o resultado entre -1 e 1, além de erfc, a função de erro complementar, que mede a cauda restante.
Como a aproximação funciona
Esta capacidade usa a fórmula 7.1.26 do Handbook of Mathematical Functions de Abramowitz e Stegun: um polinômio de cinco termos em t = 1/(1 + 0.3275911·|x|), multiplicado por e^(-x²) e subtraído de 1.
Entradas, saídas e limites
Não há limites de tamanho a declarar porque a entrada é um único escalar e o trabalho é de tempo constante. Se você precisa da função inversa, de precisão arbitrária além de 1.5e-7 ou da função de erro imaginária erfi, essas são ferramentas separadas; esta responde à pergunta direta erf(x) para x real, e responde de forma determinística. O API aceita um único campo, x, que deve ser um número real finito. Strings numéricas como "1.5" são aceitas porque formulários web enviam texto, mas NaN, Infinity, booleanos e objetos são rejeitados com um erro tipado invalid_input que nunca é cobrado. A resposta contém o valor em forma de exibição e de máquina: erf como string decimal sem zeros à direita para exibição direta e erf_number como número JSON para encadear em código, além de erfc e erfc_number com a função de erro complementar, e uma nota que nomeia o método e seu limite de erro. O mesmo código roda de graça no seu navegador nesta página — cole um valor e leia o resultado — enquanto as chamadas automatizadas pelo API custam US$ 0,002 por requisição.