Calculateur de la fonction d'erreur
erf(1) vaut 0,842700689748 et erfc(1) vaut 0,157299310252 : les deux valeurs utiles pour les probabilités de la loi normale, la diffusion de la chaleur et l'incertitude de mesure. Saisissez un nombre réel et obtenez les deux, avec une erreur sous 1,5e-7. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- X
- 1
- Erf
- 0.842700689748
- Valeur de erf
- 0,8427006897
- Erfc
- 0.157299310252
- Valeur de erfc
- 0,1572993103
Le calculateur de la fonction d'erreur évalue la fonction d'erreur de Gauss erf(x) : l'intégrale de la courbe en cloche gaussienne de 0 à x, normalisée pour que le résultat reste toujours entre -1 et 1. Vous envoyez un seul nombre réel et recevez erf(x) ainsi que la fonction d'erreur complémentaire erfc(x) = 1 - erf(x), calculée avec une approximation rationnelle précise à 1.5e-7. C'est la fonction qui sous-tend les probabilités normales, la diffusion de la chaleur et l'incertitude de mesure, évaluée en une seule étape déterministe.
Ce que la fonction d'erreur mesure réellement
La fonction d'erreur de Gauss est définie comme erf(x) = (2/√π) fois l'intégrale de e^(-t²) de 0 à x. Cette intégrale n'a pas de forme fermée en fonctions élémentaires, et c'est exactement pour cela qu'erf existe comme fonction nommée : statisticiens, physiciens et ingénieurs la rencontraient si souvent qu'elle a fini par gagner sa propre lettre.
Son graphe est une courbe en S qui part de erf(0) = 0, monte doucement et s'aplatit vers 1 à mesure que x grandit ; c'est une fonction impaire, donc erf(-x) = -erf(x), et erf(-1) ≈ -0.8427 est le miroir de erf(1) ≈ 0.8427. En probabilité, elle convertit les écarts-types en confiance : la probabilité qu'une valeur normale tombe à moins de x écarts-types de la moyenne vaut erf(x/√2), et c'est pourquoi erf(1/√2) ≈ 0.6827 est le célèbre 68 pour cent de la courbe en cloche.
En transfert thermique et en diffusion, elle décrit comment un front de température ou un gradient de concentration se propage au fil du temps.
Comment fonctionne l'approximation
Comme l'intégrale qui la définit ne peut pas s'écrire avec des fonctions élémentaires, toute implémentation d'erf est une approximation, et la question honnête est de savoir à quel point elle est bonne. Son erreur absolue est au plus 1.5e-7 pour toute entrée réelle — bien en dessous de ce qu'un résultat affiché ou un calcul de probabilité en aval remarquera jamais.
L'implémentation exploite la symétrie impaire de la fonction pour que le polynôme ne s'évalue que sur un argument non négatif, puis restaure le signe à la fin, ce qui maintient l'approximation exactement sur le domaine pour lequel ses coefficients ont été ajustés. Le calcul est une séquence fixe d'opérations en virgule flottante avec une exponentielle : pas de boucles, pas de seuils de convergence, pas d'aléa et pas d'horloge, de sorte que la même entrée produit toujours la même sortie.
Les résultats sont arrondis à 12 décimales, confortablement au-dessus du plancher d'erreur de l'approximation elle-même, donc rien d'important n'est perdu.
Cas d’usage
Convertir des scores z en confiance
Évaluez erf(x/√2) pour transformer un nombre d'écarts-types en masse de probabilité à l'intérieur de la bande centrale d'une loi normale.
Vérifier un modèle de diffusion ou de chaleur
Confrontez une simulation à la solution analytique en erf qui gouverne la diffusion unidimensionnelle depuis une frontière en escalier.
Valider une autre implémentation
Envoyez une valeur de référence et comparez-la à un résultat déterministe précis à 1.5e-7, avec erfc incluse pour vérifier les queues.
Questions fréquentes
Combien cela coûte-t-il ?
C'est aussi gratuit dans votre navigateur sur cette page, avec le même code et le même résultat.
Quelle est la précision du résultat ?
L'approximation est la 7.1.26 d'Abramowitz et Stegun, dont l'erreur absolue est au plus 1.5e-7 pour toute entrée réelle. Les résultats sont arrondis à 12 décimales.
Quelle entrée accepte-t-elle ?
Un seul nombre réel fini dans le champ x. Les chaînes numériques comme "1.5" fonctionnent aussi.
Quelle est la plage de la sortie ?
Toujours entre -1 et 1. La fonction est impaire, donc erf(-x) = -erf(x), et elle s'approche de ±1 sans jamais le dépasser à mesure que |x| grandit.
Qu'est-ce qu'erfc et pourquoi est-elle incluse ?
erfc(x) = 1 - erf(x) est la fonction d'erreur complémentaire, qui mesure la masse de probabilité dans la queue. Elle est renvoyée avec erf pour que les calculs de queue ne demandent pas un second appel.
Comment obtenir une probabilité normale à partir d'erf ?
La probabilité qu'une variable normale centrée réduite tombe entre -z et z vaut erf(z/√2).
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
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curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/error-function \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"x":1}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/error-function", {
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headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
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"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"x":1}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"x":1}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/error-function", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"x": 1
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.error_function",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Ce que la fonction d'erreur mesure réellement
Ce endpoint évalue la fonction pour une seule valeur réelle et renvoie le résultat entre -1 et 1, plus erfc, la fonction d'erreur complémentaire, qui mesure la queue restante.
Comment fonctionne l'approximation
Cette capacité utilise la formule 7.1.26 du Handbook of Mathematical Functions d'Abramowitz et Stegun : un polynôme à cinq termes en t = 1/(1 + 0.3275911·|x|), multiplié par e^(-x²) puis soustrait de 1.
Entrées, sorties et limites
Il n'y a pas de limites de taille à déclarer car l'entrée est un seul scalaire et le travail est en temps constant. Si vous avez besoin de la fonction inverse, d'une précision arbitraire au-delà de 1.5e-7 ou de la fonction d'erreur imaginaire erfi, ce sont des outils séparés ; celle-ci répond à la question directe erf(x) pour x réel, et elle y répond de façon déterministe. L'API accepte un seul champ, x, qui doit être un nombre réel fini. Les chaînes numériques comme "1.5" sont acceptées parce que les formulaires web envoient du texte, mais NaN, Infinity, les booléens et les objets sont rejetés avec une erreur typée invalid_input qui n'est jamais facturée. La réponse contient la valeur sous forme d'affichage et sous forme machine : erf comme chaîne décimale élaguée pour un affichage direct et erf_number comme nombre JSON pour l'enchaîner dans du code, plus erfc et erfc_number avec la fonction d'erreur complémentaire, et une note qui nomme la méthode et sa borne d'erreur. Le même code s'exécute gratuitement dans votre navigateur sur cette page — collez une valeur et lisez le résultat — tandis que les appels automatisés via l'API coûtent $0.002 par requête.