Calcolatrice della funzione di errore
erf(1) vale 0,842700689748 ed erfc(1) vale 0,157299310252: i due valori che servono per le probabilità della normale, la diffusione del calore e l'incertezza di misura. Inserisca qualsiasi valore reale e ottenga entrambi con un errore sotto 1,5e-7. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- X
- 1
- Erf
- 0.842700689748
- Valore di erf
- 0,8427006897
- Erfc
- 0.157299310252
- Valore di erfc
- 0,1572993103
Il calcolatore della funzione di errore valuta la funzione di errore di Gauss erf(x): l'integrale della curva a campana gaussiana da 0 a x, riscalato in modo che il risultato resti sempre tra -1 e 1. Lei invia un solo numero reale e riceve erf(x) insieme alla funzione di errore complementare erfc(x) = 1 - erf(x), calcolata con un'approssimazione razionale accurata fino a 1.5e-7. È la funzione dietro le probabilità normali, la diffusione del calore e l'incertezza di misura, valutata in un unico passaggio deterministico.
Cosa misura davvero la funzione di errore
La funzione di errore di Gauss è definita come erf(x) = (2/√π) per l'integrale di e^(-t²) da 0 a x. Quell'integrale non ha una forma chiusa in funzioni elementari, ed è esattamente per questo che erf esiste come funzione con un nome proprio: statistici, fisici e ingegneri la incontravano così spesso che ha finito per guadagnarsi la sua lettera.
Il suo grafico è una curva a S che parte da erf(0) = 0, sale dolcemente e si appiattisce verso 1 man mano che x cresce; è una funzione dispari, quindi erf(-x) = -erf(x), e erf(-1) ≈ -0.8427 è lo specchio di erf(1) ≈ 0.8427. In probabilità converte le deviazioni standard in confidenza: la probabilità che un valore normale cada entro x deviazioni standard dalla media è erf(x/√2), ed è per questo che erf(1/√2) ≈ 0.6827 è il famoso 68 per cento della curva a campana.
Nella trasmissione del calore e nella diffusione descrive come un fronte di temperatura o un gradiente di concentrazione si propaga nel tempo.
Come funziona l'approssimazione
Poiché l'integrale che la definisce non può essere scritto con funzioni elementari, ogni implementazione di erf è un'approssimazione, e la domanda onesta è quanto sia buona. Il suo errore assoluto è al massimo 1.5e-7 per qualsiasi input reale — ben al di sotto di ciò che un risultato mostrato o un calcolo di probabilità a valle potrà mai notare.
L'implementazione sfrutta la simmetria dispari della funzione in modo che il polinomio venga valutato solo su un argomento non negativo, per poi ripristinare il segno alla fine: così l'approssimazione resta esattamente sul dominio per cui i suoi coefficienti sono stati calibrati. Il calcolo è una sequenza fissa di operazioni in virgola mobile con un'esponenziale: niente cicli, niente soglie di convergenza, niente casualità e niente orologio, quindi lo stesso input produce sempre lo stesso output.
I risultati sono arrotondati a 12 cifre decimali, ben al di sopra del pavimento d'errore dell'approssimazione stessa, perciò non viene scartato nulla di rilevante.
Casi d'uso
Convertire punteggi z in confidenza
Valuti erf(x/√2) per trasformare un numero di deviazioni standard nella massa di probabilità dentro la banda centrale di una distribuzione normale.
Verificare un modello di diffusione o calore
Confronti una simulazione con la soluzione analitica in erf che governa la diffusione unidimensionale da una frontiera a gradino.
Validare un'altra implementazione
Invii un valore di riferimento e lo confronti con un risultato deterministico accurato fino a 1.5e-7, con erfc inclusa per controllare le code.
Domande frequenti
Quanto costa?
È anche gratis eseguirla nel Suo browser su questa pagina, con lo stesso codice e lo stesso risultato.
Quanto è accurato il risultato?
L'approssimazione è la 7.1.26 di Abramowitz e Stegun, il cui errore assoluto è al massimo 1.5e-7 per qualsiasi input reale. I risultati sono arrotondati a 12 cifre decimali.
Che input accetta?
Un solo numero reale finito nel campo x. Le stringhe numeriche come "1.5" funzionano.
Qual è l'intervallo dell'output?
Sempre tra -1 e 1. La funzione è dispari, quindi erf(-x) = -erf(x), e si avvicina a ±1 senza mai superarlo man mano che |x| cresce.
Cos'è erfc e perché è inclusa?
erfc(x) = 1 - erf(x) è la funzione di errore complementare, che misura la massa di probabilità nella coda. Viene restituita insieme a erf così i calcoli di coda non richiedono una seconda chiamata.
Come ottengo una probabilità normale da erf?
La probabilità che una variabile normale standardizzata cada tra -z e z è erf(z/√2).
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/error-function \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"x":1}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/error-function", {
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headers: {
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"Content-Type": "application/json"
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body: JSON.stringify({
"x": 1
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/error-function",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
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$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/error-function", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"x":1}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"x":1}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/error-function", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"x": 1
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.error_function",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Cosa misura davvero la funzione di errore
Questo endpoint valuta la funzione per un singolo valore reale e restituisce il risultato tra -1 e 1, oltre a erfc, la funzione di errore complementare, che misura la coda rimanente.
Come funziona l'approssimazione
Questa capacità usa la formula 7.1.26 del Handbook of Mathematical Functions di Abramowitz e Stegun: un polinomio di cinque termini in t = 1/(1 + 0.3275911·|x|), moltiplicato per e^(-x²) e sottratto da 1.
Input, output e limiti
Non ci sono limiti di dimensione da dichiarare perché l'input è un singolo scalare e il lavoro è a tempo costante. Se Le serve la funzione inversa, una precisione arbitraria oltre 1.5e-7 o la funzione di errore immaginaria erfi, quelli sono strumenti separati; questa risponde alla domanda diretta erf(x) per x reale, e risponde in modo deterministico. L'API accetta un solo campo, x, che deve essere un numero reale finito. Le stringhe numeriche come "1.5" sono accettate perché i moduli web inviano testo, ma NaN, Infinity, i booleani e gli oggetti vengono rifiutati con un errore tipizzato invalid_input che non viene mai fatturato. La risposta contiene il valore in forma di visualizzazione e in forma macchina: erf come stringa decimale senza zeri finali per mostrarla direttamente e erf_number come numero JSON per concatenarla nel codice, oltre a erfc e erfc_number con la funzione di errore complementare, e una nota che indica il metodo e il suo limite d'errore. Lo stesso codice gira gratis nel Suo browser su questa pagina — incolli un valore e legga il risultato — mentre le chiamate automatizzate tramite l'API costano $0.002 a richiesta.