Rechner für gebrochene Exponenten

Anders als eine einfache Potenzfunktion arbeitet sie zuerst im rationalen Bereich — der Bruch wird vor jeder Berechnung gekürzt —, sodass eine negative Basis korrekt behandelt wird: ein ungerader gekürzter Nenner liefert die reelle ungerade Wurzel, während ein gerader mit einem klaren Eingabefehler abgelehnt wird statt mit einem stillen NaN.

Was ein gebrochener Exponent wirklich bedeutet

Ein gebrochener Exponent verbindet zwei Operationen, die Lernende meist getrennt kennenlernen: eine Potenz und eine Wurzel. x^(p/q) zu schreiben bedeutet, die q-te Wurzel aus x zu ziehen und sie mit p zu potenzieren — oder, gleichwertig, x zuerst mit p zu potenzieren und dann die q-te Wurzel zu ziehen. Der Rechner für gebrochene Exponenten akzeptiert genau diese Struktur — eine Basis, einen Zähler und einen Nenner — und liefert eine einzige reelle Zahl.

Da die drei Teile als separate ganzzahlige Felder übertragen werden, geht nichts durch das Parsen eines Dezimalexponenten in Gleitkommadarstellung verloren: 1/3 bleibt exakt 1/3, statt zu 0.3333333333333333 zu werden, was sowohl für die Korrektheit als auch für die Frage zählt, ob überhaupt eine reelle Antwort existiert. Gebrochene Exponenten begegnen ständig in der Praxis: Zinseszins über einen Bruchteil einer Periode, die Quadratwurzel, die Varianz in Standardabweichung umwandelt, die Zweidrittelpotenz in allometrischen Skalengesetzen und jeder Wurzelausdruck in den Algebra-Hausaufgaben.

Alle laufen auf denselben Aufruf hinaus: Basis senden, die zwei ganzen Zahlen senden und eine deterministische Zahl zurückbekommen.

Negative Basen und die Parität des Nenners

Der heikle Teil gebrochener Potenzen ist das, was unterhalb von null passiert. Eine negative Zahl hat eine reelle Kubikwurzel — die Kubikwurzel aus -8 ist -2 —, aber keine reelle Quadratwurzel. Ob ein reelles Ergebnis existiert, hängt von der Parität des Nenners nach dem Kürzen des Bruchs ab: (-8)^(2/6) ist in Wahrheit (-8)^(1/3), also definiert, während (-4)^(1/2) es nicht ist.

Ein Gleitkomma-Aufruf von Math.pow würde in beiden Fällen schlicht NaN liefern und den Unterschied zwischen „undefiniert“ und „minus zwei“ verwischen. Das Vorzeichen des Zählers wird mit derselben Sorgfalt behandelt: bei ungeradem gekürztem Nenner ergibt ein gerader gekürzter Zähler einen positiven Betrag und ein ungerader ein negatives Ergebnis, sodass (-8)^(2/3) korrekt 4 statt -4 liefert. Das Kürzen erfolgt vor dem Paritätstest gerade deshalb, weil ein ungekürzter gerader Nenner ein verkleideter ungerader sein kann: 2/6 wirkt gerade, ist aber 1/3, und ein Drittel einer negativen Zahl ist eine vollkommen reelle Kubikwurzel.

Deterministische Ausgabe, auf die Sie prüfen können

Die Antwort enthält den tatsächlich verwendeten gekürzten Zähler und Nenner, den dezimalen Exponenten und das auf zwölf signifikante Stellen gerundete Ergebnis, sodass dieselbe Eingabe auf jeder Maschine stets eine Byte für Byte identische Ausgabe erzeugt. Das macht den Endpunkt sicher für Testsuiten, Cache-Schlüssel und Audit-Logs. Eine Basis null mit negativem Exponenten wird als undefiniert abgelehnt, statt Infinity zurückzugeben, und jedes nicht endliche Ergebnis wird als Eingabefehler gemeldet.

Es gibt keinen Zustand zwischen den Aufrufen, keinen Cache, der die Eingabe eines Kunden an einen anderen weitergeben könnte, und nach dem Senden der Antwort wird nichts gespeichert.