Exzess-Kurtosis-Rechner
Die Werte 1, 2, 3, 4 und 5 ergeben eine Exzess-Kurtosis von −1,3, flacher als die Normalverteilung mit ihrem Bezugswert 0. Positive Ergebnisse bedeuten, dass Extremwerte stärker ins Gewicht fallen als bei einer Normalkurve, negative, dass sie weniger zählen. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- Werte
- 1, 2, 3, 4, 5
- Anzahl
- 5
- Mittelwert
- 3
- Standardabweichung
- 1,4142135624
- Viertes zentrales Moment
- 6,8
Die Exzess-Kurtosis beschreibt, wie stark eine Verteilung ihre Beobachtungen im Zentrum und in den Endbereichen gegenüber der Normalverteilung als Referenz konzentriert. Dieser Rechner verarbeitet ein nicht leeres Array endlicher Zahlen, berechnet den Populationsmittelwert sowie die Zentralmomente und gibt das standardisierte vierte Zentralmoment minus drei zurück. Null entspricht der normalen Referenz; ein positives Ergebnis kennzeichnet ein höheres Gewicht des vierten Moments, ein negatives ein geringeres. Die Berechnung ist deterministisch, benötigt keinen Netzwerkzugriff und meldet einen Eingabefehler, wenn alle Werte gleich sind, weil die Standardabweichung dann null und eine Standardisierung nicht definiert ist.
Was die Exzess-Kurtosis misst
Die Exzess-Kurtosis beschreibt die Form einer Verteilung dimensionslos anhand der vierten Potenzen der Abstände vom Mittelwert. Zunächst ermittelt der Rechner den Populationsmittelwert der angegebenen Werte. Anschließend berechnet er das zweite Zentralmoment als Durchschnitt der quadrierten Abweichungen und das vierte Zentralmoment als Durchschnitt der Abweichungen in vierter Potenz.
Das vierte Zentralmoment geteilt durch das Quadrat des zweiten ergibt die standardisierte Kurtosis. Durch das Abziehen von drei verschiebt sich der Bezugspunkt, sodass eine Normalverteilung theoretisch eine Exzess-Kurtosis von null besitzt. Positive Werte werden häufig als leptokurtisch bezeichnet und bedeuten, dass extreme Abweichungen stärker beitragen als bei der normalen Referenz.
Negative, oft platykurtisch genannte Werte zeigen ein geringeres Gewicht des vierten Moments. Die Kennzahl erklärt nicht, weshalb ein Ergebnis hoch ist: Eine weit entfernte Beobachtung, mehrere mäßig entfernte Beobachtungen oder ein stark konzentriertes Zentrum können gleichermaßen dazu beitragen. Interpretieren Sie sie deshalb zusammen mit den ursprünglichen Beobachtungen, der Arraygröße und einer Visualisierung, nicht als vollständigen Normalitätstest oder direkte Wahrscheinlichkeit künftiger Ausreißer.
Wie der Rechner ein Array verarbeitet
Jeder Eintrag wird vor der Berechnung geprüft; Zeichenketten, Nullwerte, Unendlichkeiten und NaN-ähnliche Werte werden zurückgewiesen, statt sie stillschweigend umzuwandeln oder auszulassen. Die Antwort enthält die Anzahl, das arithmetische Mittel, die Populationsstandardabweichung, das vierte Zentralmoment und die Exzess-Kurtosis. Populationsmomente werden durch n und nicht durch n minus eins geteilt; eine Korrektur der Verzerrung bei kleinen Stichproben erfolgt nicht.
Damit folgt die Fähigkeit genau ihrer Definition: standardisiertes viertes Zentralmoment minus drei. Da die Formel durch das Quadrat des zweiten Zentralmoments teilt, gibt es für ein konstantes Array kein definiertes Ergebnis.
Ergebnisse lesen und häufige Fehler vermeiden
Betrachten Sie zunächst Vorzeichen und Betrag, behalten Sie dabei jedoch den Datenmaßstab und die Zahl der Beobachtungen im Blick. Die Exzess-Kurtosis bleibt unverändert, wenn jeder Wert um eine Konstante verschoben oder mit einem von null verschiedenen Skalierungsfaktor multipliziert wird. Dadurch lassen sich Ergebnisse über Einheiten wie Meter und Zentimeter hinweg vergleichen.
Gegen ungewöhnliche Beobachtungen ist sie nicht robust: Vierte Potenzen verstärken große Abweichungen, sodass schon ein einzelner Eingabefehler das Ergebnis bestimmen kann. Prüfen Sie verdächtige Werte, bevor Sie Schlussfolgerungen ziehen. Unterscheiden Sie dieses Ergebnis auf Basis von Populationsmomenten außerdem von der verzerrungskorrigierten Stichproben-Exzess-Kurtosis mancher Tabellenkalkulationen und Statistikpakete.
Solche Schätzer verwenden Faktoren mit n, n minus eins, n minus zwei und n minus drei und können bei kurzen Arrays deutlich abweichen, obwohl beide Ausgaben Kurtosis heißen. Diese Fähigkeit liefert bewusst das direkte empirische vierte Zentralmoment geteilt durch das Quadrat des empirischen zweiten Zentralmoments, minus drei. Verwenden Sie sie für deterministische Merkmalsbildung, Unterrichtsbeispiele zu Momentdefinitionen, schnelle Verteilungsvergleiche und die Prüfung von Code zur Populationsformel.
Ein Wert nahe null allein beweist keine Normalverteilung der Daten.
Anwendungsfälle
Eine Statistikimplementierung prüfen
Vergleichen Sie die Populations-Exzess-Kurtosis eines Programms mit einer deterministischen Referenzberechnung.
Messreihen kontrollieren
Verfolgen Sie Änderungen des Gewichts des vierten Moments zwischen Chargen und prüfen Sie ungewöhnliche Beobachtungen getrennt.
Verteilungsmerkmale erstellen
Ergänzen Sie eine reproduzierbare numerische Verarbeitung um Populations-Exzess-Kurtosis, ohne ein Statistikpaket zu installieren.
Häufige Fragen
Welche Formel verwendet dieser Rechner?
Er teilt das vierte Populationszentralmoment durch das Quadrat des zweiten Populationszentralmoments und zieht anschließend drei ab.
Warum wird drei abgezogen?
Das Abziehen von drei verschiebt den theoretischen Referenzwert der Normalverteilung von drei auf null.
Ist dies ein verzerrungskorrigierter Stichprobenschätzer?
Nein. Berechnet wird direkt das standardisierte vierte Zentralmoment des angegebenen empirischen Arrays, minus drei.
Warum verursacht ein konstantes Array einen Fehler?
Seine Standardabweichung ist null; daher ist die Division durch das quadrierte zweite Zentralmoment nicht definiert.
Ändert sich die Exzess-Kurtosis, wenn ich die Einheit wechsle?
Nein. Sie bleibt gleich, wenn alle Werte um eine Konstante verschoben oder mit einem Faktor ungleich null multipliziert werden. Ergebnisse in Metern und in Zentimetern können Sie daher direkt vergleichen.
Kann ein einzelner Ausreißer die Exzess-Kurtosis bestimmen?
Ja. Die Abstände vom Mittelwert gehen in vierter Potenz ein, sodass ein einziger Eingabefehler das Ergebnis prägen kann. Prüfen Sie verdächtige Werte und sehen Sie sich eine Grafik der Daten an, bevor Sie Schlüsse ziehen.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/stat/excess-kurtosis \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"values":[1,2,3,4,5]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/stat/excess-kurtosis", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
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body: JSON.stringify({
"values": [
1,
2,
3,
4,
5
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/stat/excess-kurtosis",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"values": [
1,
2,
3,
4,
5
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/stat/excess-kurtosis", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"values":[1,2,3,4,5]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"values":[1,2,3,4,5]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/stat/excess-kurtosis", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"values": [
1,
2,
3,
4,
5
]
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "stat.excess_kurtosis",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Limits
max_items | 100000 |
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Wie der Rechner ein Array verarbeitet
Übergeben Sie die Beobachtungen im Feld values als JSON-Array endlicher Zahlen. Die Aliasse numbers, data und array werden für die Transportkompatibilität ebenfalls akzeptiert; das dokumentierte kanonische Feld bleibt values. Das Array muss mindestens einen und darf höchstens einhunderttausend Einträge enthalten. Bei einer Standardabweichung von null meldet der Rechner invalid_input, anstatt NaN oder unendlich auszugeben. Erfolgreiche API-Aufrufe verwenden den veröffentlichten Grundpreis von $0.002; die Browserausführung nutzt dieselbe reine Berechnungslogik.
Technische Fragen
Was kostet ein API-Aufruf?
Ein erfolgreicher API-Aufruf nutzt den veröffentlichten Grundpreis von $0.002. Ungültige Eingaben werden ohne Statistik zurückgewiesen.