Calcolatore distanza OI del triangolo di Euler
Con un raggio circoscritto di 10 e un raggio inscritto di 3, la distanza tra circocentro e incentro è di circa 6,324555, perché il suo quadrato vale 40. Inserisca i due raggi e scopra anche se rispettano la disuguaglianza di Euler. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- Circumraggio (R)
- 10
- Inraggio (r)
- 3
- Modalità di calcolo
- distance
- Distanza tra i centri (d)
- 6,324555
- Distanza tra i centri al quadrato (d²)
- 40
gratis
Una distanza a partire da due raggi
Ogni triangolo ha un circocentro O, centro della circonferenza che passa per i tre vertici, e un incentro I, centro della circonferenza che tocca i tre lati. La formula di Euler dà la distanza tra i due usando solo i raggi: il quadrato della distanza è R moltiplicato per la differenza tra R e 2r. In pratica si toglie da R il doppio di r, si moltiplica per R e si estrae la radice quadrata. Con un raggio circoscritto di 10 e uno inscritto di 3 si ottiene 10 per 4, cioè 40, e la distanza è di circa 6,324555. Lati e angoli non entrano mai nel calcolo.
Che cosa rivela la disuguaglianza
Poiché una radice quadrata richiede un numero non negativo, la formula funziona solo quando R è almeno 2r. È la disuguaglianza di Euler, rispettata da ogni triangolo reale. Il calcolatore la controlla e segnala ogni coppia di raggi che la viola: se il raggio circoscritto è minore del doppio di quello inscritto, nessun triangolo può avere quei raggi, e così lei scopre un errore di misura o di battitura prima di costruire qualsiasi cosa. Il caso limite, R esattamente il doppio di r, è il triangolo equilatero, in cui O e I coincidono e la distanza è zero; viene accettato invece di perdersi nell'arrotondamento.
Casi d'uso
Verifica geometrica
Confermi la distanza O–I di un triangolo da R e r, o verifichi se una coppia di raggi soddisfa la disuguaglianza di Euler prima di costruire il triangolo.
Domande frequenti
Quali input sono richiesti?
Numeri positivi R (raggio circoscritto) e r (raggio inscritto). decimals (intero 0–10, predefinito 6) e mode (predefinito "distance") sono facoltativi.
Che cosa dice la formula di Euler per il triangolo?
Fornisce la distanza tra circocentro e incentro partendo solo dai due raggi: il suo quadrato è R per la differenza tra R e 2r. Con R pari a 10 e r pari a 3, il quadrato vale 40 e la distanza circa 6,324555.
Che cos'è la disuguaglianza di Euler R ≥ 2r?
Afferma che il raggio circoscritto è sempre almeno il doppio di quello inscritto. La distanza è un numero reale solo quando vale questa condizione, perciò il calcolatore segnala ogni coppia di raggi in cui R è minore di 2r.
Quando la distanza tra O e I è zero?
Quando R è esattamente il doppio di r, come nel triangolo equilatero: circocentro e incentro coincidono. Il calcolatore accetta questo caso limite invece di perderlo per un minimo errore di arrotondamento.
Che succede se il raggio circoscritto è minore del doppio di quello inscritto?
Allora nessun triangolo può avere quei due raggi, perché la quantità sotto la radice quadrata sarebbe negativa. Il risultato indica che la disuguaglianza di Euler non è rispettata, segno che la coppia di raggi è impossibile.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
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-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"R":10,"r":3}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/euler-triangle-formula", {
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"r": 3
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
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headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
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"R": 10,
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/euler-triangle-formula", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
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$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"R":10,"r":3}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/euler-triangle-formula", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"R": 10,
"r": 3
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.euler_triangle_formula",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Fornisca il raggio circoscritto R e il raggio inscritto r di un triangolo per calcolare la distanza circocentro–incentro tramite la formula di Euler d = √(R(R − 2r)), con un flag euler_ok che segnala quando R ≥ 2r non è soddisfatta. Gratis nel browser o API da $0.002.
La distanza O–I di Euler
Invii R e r come numeri positivi; mode ha valore predefinito "distance" ed è attualmente l'unica modalità supportata. La formula è notevole perché dipende solo dai due raggi, non dalle singole lunghezze dei lati o dagli angoli, e rende immediata la disuguaglianza di Euler R ≥ 2r: la distanza è reale esattamente quando quella disuguaglianza è soddisfatta. Questo endpoint valuta la formula del triangolo di Euler, che fornisce la distanza d tra il circocentro O e l'incentro I di un triangolo puramente a partire dal suo raggio circoscritto R e dal suo raggio inscritto r: d² = R(R − 2r), quindi d = √(R(R − 2r)). La risposta riporta mode, R e r e aggiunge d_squared, d e un booleano euler_ok. Per l'esempio svolto R=10, r=3 lo strumento restituisce d_squared=40 e d≈6,324555, poiché 10·(10−6)=40.
Il flag euler_ok e il suo caso limite
La disuguaglianza di Euler R ≥ 2r viene verificata esplicitamente con una piccola tolleranza (R ≥ 2r − 1e-12) così che il caso di frontiera R = 2r — il triangolo equilatero, dove O e I coincidono e d = 0 — venga accettato anziché perso nel rumore della virgola mobile. Quando R < 2r i raggi non possono appartenere ad alcun triangolo reale, quindi invece di sollevare un'eccezione l'endpoint restituisce euler_ok:false con entrambi d e d_squared impostati a null: un segnale pulito e leggibile dalla macchina che la coppia è geometricamente impossibile. Quando la disuguaglianza è soddisfatta, d² = R(R − 2r) viene calcolato, limitato a zero prima della radice quadrata per proteggere la frontiera esatta dall'arrotondamento, ed entrambi d_squared e d vengono restituiti con euler_ok:true. Questo le permette di fornire coppie candidate (R, r) e filtrare in blocco i triangoli validi senza catturare eccezioni.
Input, arrotondamento e convalida
Questa è solo la direzione diretta — calcola d da R e r e non ricostruisce un triangolo da d. Gli input vengono convalidati prima di qualsiasi calcolo: il corpo deve essere un oggetto, sia R sia r devono essere numeri finiti strettamente maggiori di zero, e decimals deve essere un intero da 0 a 10, altrimenti un errore tipizzato invalid_input nomina il campo errato. Qualsiasi mode diverso da "distance" viene rifiutato come invalid_input. I due output numerici d e d_squared vengono arrotondati con una regola half-up applicata una sola volta a ciascun valore grezzo, e decimals ha valore predefinito 6; è importante notare che d_squared viene arrotondato direttamente da R(R − 2r), non dal d arrotondato, così elevando al quadrato il d riportato non si riprodurrà esattamente il d_squared riportato a bassa precisione.
Casi di integrazione
Insegnamento del teorema di Euler
Dimostri d² = R(R − 2r) e R ≥ 2r, incluso il limite equilatero dove d = 0 quando R = 2r.
Filtraggio di coppie di raggi
Vagli grandi liste di candidati (R, r), usando euler_ok:false per scartare le coppie geometricamente impossibili senza gestione delle eccezioni.
Domande tecniche
Cosa calcola?
La distanza d tra il circocentro e l'incentro di un triangolo usando la formula di Euler d = √(R(R − 2r)), restituendo d e d_squared.
Cosa succede se R è minore di 2r?
Non esiste alcun triangolo reale, quindi la risposta imposta euler_ok:false e restituisce d e d_squared come null invece di sollevare un'eccezione.
Cosa accade quando R = 2r?
È il caso equilatero: il circocentro e l'incentro coincidono, quindi d = 0 ed euler_ok è true, grazie a una piccola tolleranza sulla verifica.
È gratuito?
Sì nel browser come widget tier A. L'API costa $0.002 per chiamata riuscita; le attività fallite non vengono addebitate.