Rechner für Eulers OI-Abstand im Dreieck
Bei einem Umkreisradius von 10 und einem Inkreisradius von 3 liegen die beiden Mittelpunkte etwa 6,324555 auseinander, denn das Quadrat des Abstands ist 40. Geben Sie beide Radien ein und erfahren Sie auch, ob sie Eulers Ungleichung erfüllen. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- Umkreisradius (R)
- 10
- Inkreisradius (r)
- 3
- Berechnungsmodus
- distance
- Abstand der Mittelpunkte (d)
- 6,324555
- Quadrat des Mittelpunktabstands (d²)
- 40
kostenlos
Ein Abstand aus zwei Radien
Jedes Dreieck hat einen Umkreismittelpunkt O, die Mitte des Kreises durch seine drei Ecken, und einen Inkreismittelpunkt I, die Mitte des Kreises, der seine drei Seiten berührt. Eulers Formel liefert den Abstand zwischen beiden allein aus den zwei Radien: Das Quadrat des Abstands ist R mal die Differenz aus R und 2r. Sie ziehen also von R das Doppelte von r ab, multiplizieren mit R und ziehen die Wurzel. Bei einem Umkreisradius von 10 und einem Inkreisradius von 3 ergibt das 10 mal 4, also 40, und der Abstand beträgt etwa 6,324555. Seiten und Winkel spielen keine Rolle.
Was die Ungleichung verrät
Weil eine Quadratwurzel eine nicht negative Zahl braucht, funktioniert die Formel nur, wenn R mindestens 2r ist. Das ist Eulers Ungleichung, und jedes echte Dreieck erfüllt sie. Der Rechner prüft sie und markiert jedes Radienpaar, das sie verletzt: Ist der Umkreisradius kleiner als der doppelte Inkreisradius, kann kein Dreieck diese Radien haben. So bemerken Sie einen Mess- oder Tippfehler, bevor Sie etwas konstruieren. Der Grenzfall, R genau doppelt so groß wie r, ist das gleichseitige Dreieck, bei dem O und I zusammenfallen und der Abstand null ist; er wird akzeptiert, statt in der Rundung verloren zu gehen.
Eulers O–I-Abstand
Dieser Endpunkt wertet die Eulersche Dreiecksformel aus, die den Abstand d zwischen dem Umkreismittelpunkt O und dem Inkreismittelpunkt I eines Dreiecks allein aus seinem Umkreisradius R und seinem Inkreisradius r angibt: d² = R(R − 2r), also d = √(R(R − 2r)). Sie senden R und r als positive Zahlen; mode ist mit "distance" vorbelegt und derzeit der einzige unterstützte Modus.
Die Formel ist bemerkenswert, weil sie nur von den beiden Radien abhängt, nicht von den einzelnen Seitenlängen oder Winkeln, und sie macht die Eulersche Ungleichung R ≥ 2r unmittelbar sichtbar: der Abstand ist genau dann reell, wenn diese Ungleichung gilt.
Anwendungsfälle
Geometrieprüfung
Bestätigen Sie den O–I-Abstand eines Dreiecks aus R und r, oder testen Sie, ob ein Radienpaar die Eulersche Ungleichung erfüllt, bevor Sie das Dreieck konstruieren.
Häufige Fragen
Welche Eingaben sind erforderlich?
Positive Zahlen R (Umkreisradius) und r (Inkreisradius). decimals (Ganzzahl 0–10, Standard 6) und mode (Standard "distance") sind optional.
Was besagt die Eulersche Dreiecksformel?
Sie liefert den Abstand zwischen Umkreis- und Inkreismittelpunkt allein aus den beiden Radien: Sein Quadrat ist R mal die Differenz aus R und 2r. Bei R von 10 und r von 3 ist das Quadrat 40 und der Abstand etwa 6,324555.
Was ist Eulers Ungleichung R ≥ 2r?
Sie besagt, dass der Umkreisradius immer mindestens doppelt so groß ist wie der Inkreisradius. Nur dann ist der Abstand eine reelle Zahl, deshalb markiert der Rechner jedes Radienpaar, bei dem R kleiner als 2r ist.
Wann ist der Abstand zwischen O und I null?
Wenn R genau doppelt so groß ist wie r, also beim gleichseitigen Dreieck: Dann fallen Umkreis- und Inkreismittelpunkt zusammen. Der Rechner akzeptiert diesen Grenzfall, statt ihn durch winzige Rundungsfehler zu verlieren.
Was bedeutet es, wenn der Umkreisradius kleiner als der doppelte Inkreisradius ist?
Dann kann kein Dreieck diese beiden Radien haben, weil unter der Wurzel eine negative Zahl stünde. Das Ergebnis zeigt an, dass Eulers Ungleichung verletzt ist, und damit, dass das Radienpaar unmöglich ist.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/euler-triangle-formula \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"R":10,"r":3}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/euler-triangle-formula", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"R": 10,
"r": 3
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/euler-triangle-formula",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"R": 10,
"r": 3
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/euler-triangle-formula", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"R":10,"r":3}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"R":10,"r":3}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/euler-triangle-formula", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"R": 10,
"r": 3
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.euler_triangle_formula",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Geben Sie den Umkreisradius R und den Inkreisradius r eines Dreiecks an, um den Abstand zwischen Umkreis- und Inkreismittelpunkt über die Eulersche Formel d = √(R(R − 2r)) zu berechnen, mit einem euler_ok-Flag, das meldet, wenn R ≥ 2r verletzt wird. Kostenlos im Browser oder per API ab $0.002.
Eulers O–I-Abstand
Die Antwort gibt mode, R und r zurück und ergänzt d_squared, d und einen booleschen euler_ok. Für das durchgerechnete Beispiel R=10, r=3 liefert das Werkzeug d_squared=40 und d≈6.324555, da 10·(10−6)=40.
Das euler_ok-Flag und sein Grenzfall
So können Sie Kandidatenpaare (R, r) einspeisen und gültige Dreiecke in großer Zahl filtern, ohne Ausnahmen abzufangen. Die Eulersche Ungleichung R ≥ 2r wird explizit mit einer kleinen Toleranz (R ≥ 2r − 1e-12) geprüft, sodass der Grenzfall R = 2r — das gleichseitige Dreieck, bei dem O und I zusammenfallen und d = 0 ist — akzeptiert und nicht durch Fließkommarauschen verloren wird. Wenn R < 2r ist, können die Radien zu keinem reellen Dreieck gehören, sodass der Endpunkt statt einer Ausnahme euler_ok:false zurückgibt, mit d und d_squared beide auf null gesetzt: ein sauberes, maschinenlesbares Signal, dass das Paar geometrisch unmöglich ist. Gilt die Ungleichung, wird d² = R(R − 2r) berechnet, vor der Quadratwurzel bei null abgeschnitten, um den exakten Grenzfall gegen Rundung zu sichern, und sowohl d_squared als auch d werden mit euler_ok:true zurückgegeben.
Eingaben, Rundung und Prüfung
Die Eingaben werden vor jeder Rechnung geprüft: der Körper muss ein Objekt sein, sowohl R als auch r müssen endliche Zahlen echt größer als null sein, und decimals muss eine Ganzzahl von 0 bis 10 sein, andernfalls benennt ein typisierter invalid_input-Fehler das fehlerhafte Feld. Jeder mode außer "distance" wird als invalid_input abgelehnt. Die beiden numerischen Ausgaben d und d_squared werden mit einer half-up-Regel gerundet, die einmal auf jeden Rohwert angewendet wird, und decimals ist mit 6 vorbelegt; wichtig ist, dass d_squared direkt aus R(R − 2r) gerundet wird und nicht aus dem gerundeten d, sodass das Quadrieren des gemeldeten d bei niedriger Genauigkeit nicht exakt das gemeldete d_squared reproduziert. Dies ist nur die Vorwärtsrichtung — sie berechnet d aus R und r und rekonstruiert kein Dreieck aus d.
Integrationsbeispiele
Eulers Satz lehren
Veranschaulichen Sie d² = R(R − 2r) und R ≥ 2r, einschließlich des gleichseitigen Grenzfalls, in dem d = 0 ist, wenn R = 2r.
Radienpaare filtern
Durchsieben Sie große Listen von (R, r)-Kandidaten und nutzen Sie euler_ok:false, um geometrisch unmögliche Paare ohne Ausnahmebehandlung zu verwerfen.
Technische Fragen
Was berechnet es?
Den Abstand d zwischen dem Umkreis- und dem Inkreismittelpunkt eines Dreiecks über die Eulersche Formel d = √(R(R − 2r)), wobei d und d_squared zurückgegeben werden.
Was, wenn R kleiner als 2r ist?
Es existiert kein reelles Dreieck, sodass die Antwort euler_ok:false setzt und d sowie d_squared als null zurückgibt, statt eine Ausnahme zu werfen.
Was geschieht bei R = 2r?
Das ist der gleichseitige Fall: Umkreis- und Inkreismittelpunkt fallen zusammen, sodass d = 0 und euler_ok true ist, dank einer kleinen Toleranz bei der Prüfung.
Ist es kostenlos?
Ja im Browser als tier-A-Widget. Die API kostet $0.002 pro erfolgreichem Aufruf; fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.