Calculadora de distância OI do triângulo de Euler
Com raio circunscrito 10 e raio inscrito 3, a distância entre circuncentro e incentro é de cerca de 6,324555, porque o seu quadrado vale 40. Digite os dois raios e saiba também se obedecem à desigualdade de Euler. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Circunraio (R)
- 10
- Inraio (r)
- 3
- Modo de cálculo
- distance
- Distância entre os centros (d)
- 6,324555
- Distância entre os centros ao quadrado (d²)
- 40
grátis
Uma distância a partir de dois raios
Todo triângulo tem um circuncentro O, centro da circunferência que passa pelos três vértices, e um incentro I, centro da circunferência que toca os três lados. A fórmula de Euler dá a distância entre eles só com os dois raios: o quadrado da distância é R multiplicado pela diferença entre R e 2r. Ou seja, de R se subtrai o dobro de r, multiplica-se por R e tira-se a raiz quadrada. Com raio circunscrito 10 e raio inscrito 3 fica 10 vezes 4, isto é, 40, e a distância é de cerca de 6,324555. Os lados e os ângulos não entram no cálculo.
O que a desigualdade revela
Como uma raiz quadrada exige um número que não seja negativo, a fórmula só funciona quando R é pelo menos 2r. Essa é a desigualdade de Euler, e todo triângulo real a obedece. A calculadora faz essa verificação e avisa sobre qualquer par de raios que a viole: se o raio circunscrito for menor que o dobro do inscrito, nenhum triângulo pode ter esses raios, o que ajuda a pegar um erro de medida ou de digitação antes de construir qualquer coisa. O caso-limite, R exatamente o dobro de r, é o triângulo equilátero, em que O e I coincidem e a distância é zero; ele é aceito em vez de se perder no arredondamento.
Casos de uso
Verificação de geometria
Confirme a distância O–I de um triângulo a partir de R e r, ou teste se um par de raios satisfaz a desigualdade de Euler antes de construir o triângulo.
Perguntas frequentes
Quais entradas são obrigatórias?
Números positivos R (circunraio) e r (inraio). decimals (inteiro 0–10, padrão 6) e mode (padrão "distance") são opcionais.
O que diz a fórmula de Euler para o triângulo?
Ela dá a distância entre o circuncentro e o incentro a partir dos dois raios: o quadrado da distância é R vezes a diferença entre R e 2r. Com R igual a 10 e r igual a 3, o quadrado é 40 e a distância, cerca de 6,324555.
O que é a desigualdade de Euler R ≥ 2r?
Ela diz que o raio circunscrito é sempre pelo menos o dobro do raio inscrito. A distância só é um número real quando isso vale, por isso a calculadora avisa sobre qualquer par de raios em que R seja menor que 2r.
Quando a distância entre O e I é zero?
Quando R é exatamente o dobro de r, o que acontece no triângulo equilátero: o circuncentro e o incentro são o mesmo ponto. A calculadora aceita esse caso-limite em vez de perdê-lo por um pequeno erro de arredondamento.
E se o raio circunscrito for menor que o dobro do inscrito?
Então nenhum triângulo pode ter esses dois raios, porque o valor sob a raiz quadrada seria negativo. O resultado indica que a desigualdade de Euler não vale, sinal de que o par de raios é impossível.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/euler-triangle-formula \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"R":10,"r":3}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/euler-triangle-formula", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"R": 10,
"r": 3
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/euler-triangle-formula",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"R": 10,
"r": 3
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/euler-triangle-formula", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"R":10,"r":3}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"R":10,"r":3}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/euler-triangle-formula", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"R": 10,
"r": 3
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.euler_triangle_formula",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Informe o circunraio R e o inraio r de um triângulo para calcular a distância circuncentro–incentro pela fórmula de Euler d = √(R(R − 2r)), com uma flag euler_ok que informa quando R ≥ 2r falha. Grátis no navegador ou API a partir de US$ 0,002.
A distância O–I de Euler
Você envia R e r como números positivos; mode assume "distance" por padrão e é atualmente o único modo suportado. A fórmula é notável porque depende apenas dos dois raios, não dos comprimentos individuais dos lados ou dos ângulos, e torna imediata a desigualdade de Euler R ≥ 2r: a distância é real exatamente quando essa desigualdade vale. Este endpoint avalia a fórmula do triângulo de Euler, que dá a distância d entre o circuncentro O e o incentro I de um triângulo puramente a partir do seu circunraio R e do seu inraio r: d² = R(R − 2r), de modo que d = √(R(R − 2r)). A resposta devolve mode, R e r e adiciona d_squared, d e um booleano euler_ok. Para o exemplo resolvido R=10, r=3 a ferramenta retorna d_squared=40 e d≈6,324555, já que 10·(10−6)=40.
A flag euler_ok e seu caso limite
A desigualdade de Euler R ≥ 2r é verificada explicitamente com uma pequena tolerância (R ≥ 2r − 1e-12) para que o caso de fronteira R = 2r — o triângulo equilátero, onde O e I coincidem e d = 0 — seja aceito em vez de perdido para o ruído de ponto flutuante. Quando R < 2r os raios não podem pertencer a nenhum triângulo real, então, em vez de lançar erro, o endpoint retorna euler_ok:false com d e d_squared ambos definidos como null: um sinal limpo e legível por máquina de que o par é geometricamente impossível. Quando a desigualdade vale, d² = R(R − 2r) é calculado, limitado a zero antes da raiz quadrada para proteger a fronteira exata contra arredondamento, e tanto d_squared quanto d são retornados com euler_ok:true. Isso permite alimentar pares candidatos (R, r) e filtrar triângulos válidos em lote sem capturar exceções.
Entradas, arredondamento e validação
Este é apenas o sentido direto — ele calcula d a partir de R e r e não reconstrói um triângulo a partir de d. As entradas são validadas antes de qualquer aritmética: o corpo deve ser um objeto, tanto R quanto r devem ser números finitos estritamente maiores que zero, e decimals deve ser um inteiro de 0 a 10, caso contrário um erro tipado invalid_input nomeia o campo problemático. Qualquer mode diferente de "distance" é rejeitado como invalid_input. As duas saídas numéricas d e d_squared são arredondadas com uma regra half-up aplicada uma vez a cada valor bruto, e decimals assume 6 por padrão; é importante notar que d_squared é arredondado a partir de R(R − 2r) diretamente, não a partir do d arredondado, de modo que elevar ao quadrado o d reportado não reproduzirá exatamente o d_squared reportado em baixa precisão.
Casos de integração
Ensino do teorema de Euler
Demonstre d² = R(R − 2r) e R ≥ 2r, incluindo o limite equilátero onde d = 0 quando R = 2r.
Filtragem de pares de raios
Triar grandes listas de candidatos (R, r), usando euler_ok:false para descartar pares geometricamente impossíveis sem tratamento de exceções.
Perguntas técnicas
O que ele calcula?
A distância d entre o circuncentro e o incentro de um triângulo usando a fórmula de Euler d = √(R(R − 2r)), retornando d e d_squared.
E se R for menor que 2r?
Nenhum triângulo real existe, então a resposta define euler_ok:false e retorna d e d_squared como null em vez de lançar erro.
O que acontece em R = 2r?
Esse é o caso equilátero: o circuncentro e o incentro coincidem, de modo que d = 0 e euler_ok é true, graças a uma pequena tolerância na verificação.
É grátis?
Sim no navegador como um widget tier A. A API custa US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; tarefas com falha não são cobradas.