Calculateur de la distance OI d'Euler
Avec un rayon circonscrit de 10 et un rayon inscrit de 3, la distance entre les deux centres vaut environ 6,324555, car son carré vaut 40. Saisissez les deux rayons et sachez aussi s'ils respectent l'inégalité d'Euler. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- Rayon circonscrit (R)
- 10
- Rayon inscrit (r)
- 3
- Mode de calcul
- distance
- Distance entre les centres (d)
- 6,324555
- Carré de la distance entre les centres (d²)
- 40
gratuit
Une distance à partir de deux rayons
Tout triangle possède un point O, centre du cercle circonscrit qui passe par ses trois sommets, et un point I, centre du cercle inscrit qui touche ses trois côtés. La formule d'Euler donne la distance entre eux à partir des deux rayons seulement : le carré de la distance vaut R multiplié par la différence entre R et 2r. Autrement dit, on retire de R le double de r, on multiplie par R et on prend la racine carrée. Avec un rayon circonscrit de 10 et un rayon inscrit de 3, on obtient 10 fois 4, soit 40, et la distance vaut environ 6,324555. Les côtés et les angles n'interviennent jamais.
Ce que révèle l'inégalité
Comme une racine carrée exige un nombre positif ou nul, la formule ne fonctionne que si R vaut au moins 2r. C'est l'inégalité d'Euler, que respecte tout triangle réel. Le calculateur la vérifie et signale toute paire de rayons qui la viole : si le rayon circonscrit est inférieur au double du rayon inscrit, aucun triangle ne peut avoir ces rayons, ce qui permet de repérer une erreur de mesure ou de saisie avant de construire quoi que ce soit. Le cas limite, R exactement égal au double de r, est le triangle équilatéral, où O et I sont confondus et la distance est nulle ; il est accepté au lieu d'être perdu dans l'arrondi.
La distance O–I d'Euler
Ce point d'accès évalue la formule d'Euler du triangle, qui donne la distance d entre le centre O du cercle circonscrit et le centre I du cercle inscrit d'un triangle uniquement à partir de son rayon circonscrit R et de son rayon inscrit r : d² = R(R − 2r), donc d = √(R(R − 2r)). Vous envoyez R et r comme nombres strictement positifs ; mode vaut "distance" par défaut et constitue actuellement le seul mode pris en charge.
La formule est remarquable en ce qu'elle ne dépend que des deux rayons, et non des longueurs de côté ou des angles pris isolément, et elle rend immédiate l'inégalité d'Euler R ≥ 2r : la distance est réelle exactement lorsque cette inégalité est vérifiée.
Cas d’usage
Vérification géométrique
Confirmez la distance O–I d'un triangle à partir de R et r, ou testez si un couple de rayons satisfait l'inégalité d'Euler avant de construire le triangle.
Questions fréquentes
Quelles entrées sont requises ?
Les nombres strictement positifs R (rayon circonscrit) et r (rayon inscrit). decimals (entier de 0 à 10, valeur par défaut 6) et mode (valeur par défaut "distance") sont facultatifs.
Que dit la formule d'Euler pour le triangle ?
Elle donne la distance entre le centre du cercle circonscrit et celui du cercle inscrit à partir des seuls rayons : son carré vaut R fois la différence entre R et 2r. Avec R de 10 et r de 3, le carré vaut 40 et la distance environ 6,324555.
Qu'est-ce que l'inégalité d'Euler R ≥ 2r ?
Elle affirme que le rayon circonscrit vaut toujours au moins le double du rayon inscrit. La distance n'est un nombre réel que si elle est respectée, c'est pourquoi le calculateur signale toute paire de rayons où R est inférieur à 2r.
Quand la distance entre O et I est-elle nulle ?
Quand R vaut exactement le double de r, ce qui arrive dans le triangle équilatéral : les deux centres sont alors confondus. Le calculateur accepte ce cas limite au lieu de le perdre à cause d'une infime erreur d'arrondi.
Que se passe-t-il si le rayon circonscrit est inférieur au double du rayon inscrit ?
Alors aucun triangle ne peut avoir ces deux rayons, car la quantité sous la racine carrée serait négative. Le résultat indique que l'inégalité d'Euler n'est pas respectée, signe que la paire de rayons est impossible.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/euler-triangle-formula \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"R":10,"r":3}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/euler-triangle-formula", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"R": 10,
"r": 3
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/euler-triangle-formula",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"R": 10,
"r": 3
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/euler-triangle-formula", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"R":10,"r":3}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"R":10,"r":3}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/euler-triangle-formula", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"R": 10,
"r": 3
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.euler_triangle_formula",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Donnez le rayon circonscrit R et le rayon inscrit r d'un triangle pour calculer la distance entre le centre du cercle circonscrit et celui du cercle inscrit via la formule d'Euler d = √(R(R − 2r)), assortie d'un indicateur euler_ok qui signale lorsque la condition R ≥ 2r n'est pas vérifiée. Gratuit dans le navigateur ou via API dès $0.002.
La distance O–I d'Euler
La réponse renvoie mode, R et r en écho et y ajoute d_squared, d ainsi qu'un booléen euler_ok. Pour l'exemple traité R=10, r=3, l'outil renvoie d_squared=40 et d≈6,324555, puisque 10·(10−6)=40.
L'indicateur euler_ok et son cas limite
L'inégalité d'Euler R ≥ 2r est vérifiée explicitement avec une petite tolérance (R ≥ 2r − 1e-12), afin que le cas frontière R = 2r — le triangle équilatéral, où O et I coïncident et où d = 0 — soit accepté plutôt que perdu dans le bruit de virgule flottante. Lorsque R < 2r, les rayons ne peuvent appartenir à aucun triangle réel ; aussi, au lieu de déclencher une exception, le point d'accès renvoie euler_ok:false avec d et d_squared tous deux fixés à null : un signal propre et lisible par machine indiquant que le couple est géométriquement impossible. Lorsque l'inégalité est vérifiée, d² = R(R − 2r) est calculé, plafonné à zéro avant la racine carrée pour protéger le cas frontière exact contre l'arrondi, et d_squared comme d sont renvoyés avec euler_ok:true. Cela vous permet de soumettre des couples candidats (R, r) et de filtrer en masse les triangles valides sans avoir à intercepter d'exceptions.
Entrées, arrondi et validation
Il s'agit uniquement du sens direct : l'outil calcule d à partir de R et r, et ne reconstruit pas un triangle à partir de d. Les entrées sont validées avant toute opération : le corps doit être un objet, R et r doivent tous deux être des nombres finis strictement supérieurs à zéro, et decimals doit être un entier de 0 à 10, faute de quoi une erreur invalid_input typée nomme le champ fautif. Tout mode autre que "distance" est rejeté comme invalid_input. Les deux sorties numériques d et d_squared sont arrondies selon une règle half-up appliquée une seule fois à chaque valeur brute, et decimals vaut 6 par défaut ; surtout, d_squared est arrondi directement à partir de R(R − 2r), et non du d arrondi, de sorte qu'élever au carré le d rapporté ne reproduira pas exactement le d_squared rapporté à faible précision.
Cas d'intégration
Enseignement du théorème d'Euler
Illustrez d² = R(R − 2r) et R ≥ 2r, y compris le cas limite équilatéral où d = 0 lorsque R = 2r.
Filtrage de couples de rayons
Passez au crible de grandes listes de couples candidats (R, r), en vous appuyant sur euler_ok:false pour écarter les couples géométriquement impossibles sans gestion d'exceptions.
Questions techniques
Que calcule l'outil ?
La distance d entre le centre du cercle circonscrit et celui du cercle inscrit d'un triangle à l'aide de la formule d'Euler d = √(R(R − 2r)), en renvoyant d et d_squared.
Que se passe-t-il si R est inférieur à 2r ?
Aucun triangle réel n'existe ; la réponse fixe donc euler_ok:false et renvoie d et d_squared à null au lieu de déclencher une exception.
Que se passe-t-il lorsque R = 2r ?
C'est le cas équilatéral : le centre du cercle circonscrit et celui du cercle inscrit coïncident, si bien que d = 0 et euler_ok vaut true, grâce à une petite tolérance sur la vérification.
Est-ce gratuit ?
Oui dans le navigateur, sous forme de widget tier A. L'API coûte $0.002 par appel réussi ; les tâches en échec ne sont pas facturées.