Période de Pisano
Calculez la période de Pisano de tout module jusqu'à 1 000 000 : modulo 10, les restes de Fibonacci se répètent tous les 60 pas, et modulo 2, tous les 3. Vous obtenez la longueur exacte du cycle, calculée uniquement avec des entiers. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- M
- 10
- Période de Pisano
- 60
Le calculateur de période de Pisano détermine combien de résidus de Fibonacci apparaissent avant que la suite ne se répète pour un modulo positif choisi. Au lieu de produire un nombre arbitraire de termes, il suit des paires de résidus consécutifs jusqu'au retour de l'état initial unique, puis indique la longueur du cycle. Cet outil sert en arithmétique modulaire, dans les concours de programmation, pour l'analyse des récurrences et dans les algorithmes qui doivent réduire sans risque de très grands indices de Fibonacci. Saisissez un modulo de 1 à 1,000,000 pour obtenir un résultat exact et déterministe.
Ce que mesure une période de Pisano
La suite de Fibonacci commence par 0, 1, 1, 2, 3, 5 et se poursuit en additionnant les deux termes précédents. Prendre chaque terme modulo m remplace chaque nombre de Fibonacci par le reste de sa division par m. Comme le nombre de paires ordonnées de restes est fini, cette suite dérivée finit par se répéter.
Pour les résidus de Fibonacci, la répétition revient à la paire initiale ; le nombre d'étapes nécessaires à ce retour est appelé période de Pisano. Par exemple, modulo 2, les résidus sont 0, 1, 1, puis le motif recommence, ce qui donne une période de 3. Modulo 10, la période vaut 60, d'où la répétition des derniers chiffres des nombres de Fibonacci toutes les 60 positions.
Ce calculateur renvoie la longueur du cycle, et non une liste de résidus ni un terme de Fibonacci. Le modulo particulier 1 ne possède que le résidu 0 : sa suite à un seul état a donc une période de 1. Tous les calculs proposés emploient une arithmétique entière exacte, sans approximation, échantillonnage ni test probabiliste.
Comment le calculateur détecte le cycle
Une valeur de Fibonacci dépend des deux valeurs qui la précèdent immédiatement. La répétition d'un seul reste ne suffit donc pas à prouver que toute la suite a recommencé. Le calculateur suit une paire ordonnée de résidus consécutifs.
Il part de 0 et 1, remplace successivement la paire par la paire modulaire de Fibonacci suivante et compte chaque transition. Lorsque la paire ordonnée 0, 1 réapparaît, le compteur donne la période de Pisano. Ce contrôle par paires évite les arrêts erronés qui surviendraient si l'algorithme ne recherchait qu'un zéro ou n'importe quel reste individuel répété.
La mémoire utilisée reste constante, car le calcul ne conserve que la paire courante et un compteur, jamais le cycle complet. Le modulo est plafonné à 1,000,000 afin de borner explicitement le temps d'exécution d'une requête interactive. Les entrées doivent être des entiers positifs.
Les fractions décimales, chaînes non numériques, zéros, valeurs négatives et valeurs supérieures à la limite publiée sont rejetés, sans arrondi ni modification silencieuse.
Exploiter le résultat dans les calculs modulaires de Fibonacci
Une fois la période p connue, vous pouvez réduire les indices de Fibonacci modulo p dès lors que seule la valeur modulo m compte : F(n) mod m est égal à F(n mod p) mod m. Cette identité transforme un indice immense en un indice équivalent bien plus petit avant un calcul par doublement rapide ou exponentiation matricielle.
Elle est particulièrement utile quand l'indice est fourni sous forme d'une très longue chaîne décimale, lorsqu'une récurrence intervient dans un exercice de cryptographie ou si un problème de programmation ne demande que les derniers chiffres. Distinguez bien le rôle des deux modulos : m détermine les résidus de Fibonacci, tandis que la période de Pisano renvoyée sert à réduire l'indice. Une période n'est généralement pas égale à m, et les périodes des modulos composés reflètent l'interaction de leurs facteurs qui sont des puissances de nombres premiers.
Aucun tarif par terme ne s'applique et l'algorithme ne consulte ni le réseau ni des données externes.
Cas d’usage
Réduire un très grand indice de Fibonacci
Calculez d'abord la longueur du cycle, réduisez l'indice par cette période, puis calculez uniquement la position modulaire équivalente de Fibonacci.
Contrôler la répétition des derniers chiffres
Utilisez le modulo 10, 100 ou une autre puissance de dix pour savoir à quelle fréquence les derniers chiffres des nombres de Fibonacci se répètent.
Vérifier des exercices de théorie des nombres
Confirmez les longueurs attendues de cycles modulaires lors de l'étude des récurrences, congruences, puissances de nombres premiers ou modulos composés.
Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'une période de Pisano ?
C'est le nombre de résidus de Fibonacci modulo m précédant le retour de la suite ordonnée à son état initial et sa répétition.
Pourquoi la période de Pisano du modulo 1 vaut-elle 1 ?
Modulo 1, tout entier a pour résidu 0 ; la suite des résidus ne comprend donc qu'un seul état répété.
Quel est le plus grand modulo pris en charge ?
Le calculateur accepte les entiers positifs jusqu'à 1,000,000 afin que chaque requête possède une limite d'exécution claire.
Le résultat est-il un nombre de Fibonacci ?
Non. Il indique la longueur du cycle répétitif des résidus de Fibonacci pour le modulo demandé.
Pourquoi les derniers chiffres des nombres de Fibonacci se répètent-ils ?
Le dernier chiffre est le reste de la division par 10, et modulo 10 la période de Pisano vaut 60. Les derniers chiffres de la suite de Fibonacci recommencent donc toutes les 60 positions.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
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}Exemple de réponse
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"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Limites
max_m | 1000000 |
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Comment le calculateur détecte le cycle
Le navigateur et l'API utilisent le même noyau déterministe.
Exploiter le résultat dans les calculs modulaires de Fibonacci
Pour garantir la reproductibilité, conservez à la fois le m envoyé et le pisano_period renvoyé ; la réponse contient donc ces deux champs. Une requête coûte $0.002.
Questions techniques
Puis-je saisir zéro ou un modulo négatif ?
Non. Un modulo inférieur à 1 est invalide et renvoie une erreur invalid_input.
Combien coûte une requête API ?
Chaque requête coûte $0.002. Le calcul ne comporte aucun tarif variable par terme.