Período de Pisano

A calculadora do período de Pisano determina quantos resíduos de Fibonacci aparecem antes de a sequência se repetir para um módulo positivo escolhido. Em vez de produzir uma quantidade arbitrária de termos, ela acompanha pares consecutivos de resíduos até o retorno do estado inicial único e informa o tamanho do ciclo. Isso é útil em aritmética modular, competições de programação, análise de recorrências e algoritmos que precisam reduzir com segurança índices enormes de Fibonacci. Informe um módulo de 1 a 1,000,000 para receber um resultado exato e determinístico.

O que um período de Pisano mede

A sequência de Fibonacci começa com 0, 1, 1, 2, 3, 5 e continua pela soma dos dois termos anteriores. Calcular cada termo módulo m substitui cada número de Fibonacci pelo resto de sua divisão por m. Como existe apenas uma quantidade finita de pares ordenados de restos, essa sequência derivada acaba se repetindo.

Nos resíduos de Fibonacci, a repetição retorna ao par inicial; o número de passos até esse retorno recebe o nome de período de Pisano. Por exemplo, módulo 2, os resíduos são 0, 1, 1 e então o padrão recomeça, resultando em período 3. Módulo 10 tem período 60, o que explica por que os algarismos finais dos números de Fibonacci se repetem a cada 60 posições.

Esta calculadora retorna o tamanho do ciclo, não uma lista de resíduos nem um termo de Fibonacci. O módulo especial 1 tem somente o resíduo 0, portanto sua sequência de estado único tem período 1. Todo cálculo aceito usa aritmética inteira exata, sem aproximação, amostragem ou teste probabilístico.

Como a calculadora detecta o ciclo

Um valor de Fibonacci depende dos dois valores imediatamente anteriores, portanto a repetição de um único resto não basta para provar que toda a sequência recomeçou. A calculadora acompanha um par ordenado de resíduos consecutivos. Ela começa com 0 e 1, substitui repetidamente o par pelo próximo par modular de Fibonacci e conta cada transição.

Quando o par ordenado 0, 1 reaparece, a contagem corresponde ao período de Pisano. Esse teste por pares evita interrupções incorretas que ocorreriam se a implementação observasse apenas um zero ou qualquer resto individual repetido. O uso de memória permanece constante, pois o cálculo precisa somente do par atual e de um contador; o ciclo inteiro não é armazenado.

O módulo é limitado a 1,000,000 para que o tempo de execução de uma solicitação interativa tenha um limite explícito. As entradas devem ser números inteiros positivos. Frações decimais, textos não numéricos, zero, valores negativos e valores acima do limite publicado são rejeitados, sem arredondamento ou alteração silenciosa.

Como usar o resultado em cálculos modulares de Fibonacci

Depois de conhecer o período p, você pode reduzir os índices de Fibonacci módulo p sempre que apenas o valor módulo m for relevante: F(n) mod m é igual a F(n mod p) mod m. Essa identidade transforma um índice enorme em um índice equivalente muito menor antes de um cálculo por duplicação rápida ou exponenciação de matrizes.

Ela é especialmente útil quando o índice é fornecido como uma cadeia decimal muito longa, quando uma recorrência aparece em um exercício de criptografia ou quando um problema de programação solicita apenas os últimos algarismos. Mantenha separadas as funções dos dois módulos: m controla os resíduos de Fibonacci, enquanto o período de Pisano retornado controla a redução do índice. Em geral, um período não é igual a m, e os períodos de módulos compostos refletem a interação de seus fatores que são potências de primos.

Não há cobrança por termo, e o algoritmo não acessa a rede nem dados externos.